tailieunhanh - Ma trận ngẫu nhiên (tiếp theo)

Nội dung chính của bài viết "Ma trận ngẫu nhiên (tiếp theo)" trình bày xác suất suy biến: trường hợp đối xứng; Định thức và vĩnh thức. Để hiểu rõ hơn, mời các bạn tham khảo chi tiết nội dung bài viết này. | MA TRẬN NGẪU NHIÊN TIẾP THEO Vũ Hà Văn Đại học Yale Mỹ 4. Xác suất suy biến trường hợp đối xứng Hoàn toàn tương tự một cách tự nhiên ta đánh giá xác suất ma trận ngẫu nhiên đối xứng pnsy m suy biến. Bài toán này được và nhắc đến cho tác giả trong cuộc nó chuyện riêng vào khoảng năm 2004. Thật ngạc nhiên đối với chúng ta vào thời điểm đó ngay cả một kết quả tương tự với định lý Komlós 1967 cũng chưa được biết đến. Theo Kalai và Linial giả thuyết dưới đây được đưa ra bởi vào những năm 1980 nhưng hoàn toàn có thể là Komlós đã nghĩ về nó trước đó. Giả thuyết 1. pnsy m D . Khó khăn chính liên quan đến Mnsy m là các dòng không còn độc lập nữa. Chẳng hạn như dòng cuối cùng gần như đã được xác định bởi các dòng trước đó. Như vậy quy trình xếp các dòng được xét đến trong trường hợp không đối xứng không còn áp dụng được nữa. Trong 16 Costello Tao và Vũ tìm được một phương pháp để vượt qua được tính phụ thuộc. Hóa ra là phương pháp đúng để xây dựng ma trận đối xứng không phải là theo từng dòng như trường hợp của Mnsy m mà là từ góc đến góc. Trong bước k ta xét ma trận con bậc k ở góc trên bên trái. Chiến thuật theo ý tưỡng của Komlós 38 là chứng minh rằng với xác suất cao đối hạng của ma trận này khi k tăng sẽ có ứng xử như điểm cuối của một chuyển động ngẫu nhiên lệch trên tập hợp các số nguyên không âm với xu hướng mạnh đi về bên trái khi còn có thể. Điều này dẫn đến sự khẳng định của giả thuyết Weiss. Định lý . pnsy m D . Công cụ kỹ thuật chính trong chứng minh Định lý là phiên bản hai chiều sau đây của Định lý . Định lý . Littlewood-Offord hai chiều Giả sử aij là các số thực khác 0 và i 1 i j n P các biến ngẫu nhiên Bernoulli độc lập phân bố đều. Giả sử Q là dạng toàn phương Q WD là 1 i j n aij i j . Khi đó với mọi giá trị a 1 4 D a D Ta hãy xét bước cuối trong quá trì khi ma trận con bậc .n 1 .n 1 đã được xây dựng. Để thu được Mnsy m1 ta bổ sung dòng ngẫu nhiên X D . 1 n và chuyển vị của nó. Với điều kiện trên Mnsy m