tailieunhanh - Một số dạng toán về bất phương trình hàm

Nội dung chính của bài viết "Một số dạng toán về bất phương trình hàm" cung cấp một số kiến thức như: Bất phương trình hàm với cặp biến tự do và bất phương trình hàm dạng cộng – nhân tính. Để hiểu rõ hơn, mời các bạn tham khảo chi tiết nội dung bài viết này. | MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH HÀM Trịnh Đào Chiến Trường Cao Đẳng Sư Phạm Gia Lai Các bài toán về giải bất phương trình hàm thường là những bài toán khó. Trong những năm gần đây các dạng toán loại này đôi khi xuất hiện trong các đề thi chọn học sinh giỏi các cấp và Olympic Toán quốc tế. Chẳng hạn Bài toán 3 trong IMO 2011 Giả sử f W R R là một hàm giá trị thực xác định trên tập các số thực và thỏa mãn f .x C y yf .x C f .f .x với mọi số thực x và y Chứng minh rằng f .x D 0 với mọi x 0 Bài viết này đề cập đến phương pháp giải một lớp các bất phương trình hàm dạng cơ bản. Đây là một trong những phương pháp có thể tham khảo để tìm tòi lời giải cho một bài toán về bất phương trình hàm. 1. Bất phương trình hàm với cặp biến tự do Xét hàm biến số thực f thỏa mãn các tính chất sau f .x C y f .x f .y Ta có thể tìm được hàm f thỏa mãn tính chất trên nếu f thỏa mãn thêm một số điều kiện ban đầu nào đó chẳng hạn xem 1 f .x ax a gt 0 Để giải bài toán trên trước hết ta cần giải các bài toán sau Bài toán 32. Xác định các hàm số f .x thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau i f .x C y f .x C f .y với mọi x y 2 RI ii f .x 0 với mọi x 2 R Chứng minh. Từ các điều kiện của bài toán thay x D 0 ta thu được f .0 2f .0 và f .0 0. Do đó f .0 D 0. Vậy nên 0 D f .0 D f .x C . x f .x C f . x 0 Suy ra f .x 0 Thử lại ta thấy hàm số f .x 0 thỏa mãn điều kiện bài ra. 133 Tạp chí Epsilon Số 08 04 2016 Bài toán 33. Cho trước a 2 R. Xác định các hàm số f .x thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau i f .x C y f .x C f .y với mọi x y 2 R ii f .x ax với mọi x 2 R. Chứng minh. Xét hàm số D ax. Để ý rằng C y D C . Đặt f .x D C . Khi đó ta thu được các điều kiện i C y C với mọi x y 2 RI ii 0 với mọi x 2 R Theo Bài toán 1 ta có 0 hay f .x D ax. Thử lại ta thấy hàm số f .x D ax thỏa mãn điều kiện bài ra. Bây giờ ta trở lại bài toán đã nêu ban đầu. Bài toán 34. Cho trước a gt 0. Xác định các hàm số f .x thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau i f .x C y f .x f .y với