tailieunhanh - Bài giảng Đại số tuyến tính: Phần 2 - TS. Bùi Xuân Diệu

(NB) Tiếp nội dung phần 1, Bài giảng Đại số tuyến tính: Phần 2 gồm có 2 chương, cung cấp cho người học những kiến thức như: Ánh xạ tuyến tính; Dạng toàn phương, không gian Euclide. Mời các bạn cùng tham khảo! | CHƯƠNG 4 ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 1. ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH Khái niệm Định nghĩa . Ánh xạ T V W từ không gian véctơ V tới không gian véctơ W được gọi là ánh xạ tuyến tính nếu i T u v T u T v u v V ii T ku kT u k R u V Một số tính chất ban đầu của ánh xạ tuyến tính Định lý . Cho T V W là ánh xạ tuyến tính từ không gian véctơ V tới không gian véctơ W . Khi đó a T 0 0. b T v T v v V . c T u v T u T v u v V . Bài tập Bài tập . Cho V là KGVT V Hom V R f V R f là ánh xạ tuyến tính . 1 nếu i j Giả sử V có cơ sở e1 e2 . en . Xét tập hợp f 1 f 2 . f n trong đó f i e j . 0 nếu i 6 j Chứng minh f 1 f 2 . f n là cơ sở của V được gọi là cơ sở đối ngẫu ứng với e1 e2 . en . 73 74 Chương 4. Ánh xạ tuyến tính Chứng minh. Muốn chứng minh f 1 f 2 . f n là một cơ sở của V ta sẽ chứng minh nó là một hệ sinh của V và độc lập tuyến tính. 1. Chứng minh f 1 f 2 . f n là một hệ véctơ độc lập tuyến tính. Giả sử có ràng buộc tuyến tính λ1 f 1 λ2 f 2 . . . λ n f n 0 1 Tác động hai vế lên véctơ e1 ta được λ 1 f 1 e1 λ 2 f 2 e1 . . . λ n f n e1 0 2 Theo định nghĩa thì f 1 e1 1 f 2 e1 0 . . . f n e1 0 nên từ 2 suy ra λ1 0. Tương tự như vậy nếu tác động hai vế của 1 lên e2 ta được λ2 0 . . . tác động hai vế của 1 lên en ta được λn 0. Vậy λ1 λ2 . . . λn 0 hệ véctơ đã cho độc lập tuyến tính. 2. Chứng minh f 1 f 2 . f n là hệ sinh của V . Giả sử f V khi đó f e1 f e2 . . . f en là các số thực xác định. Ta sẽ chứng minh f f e1 f 1 f e2 f 2 . . . f e n f n Thật vậy với mỗi x V x λ1 e1 λ2 e2 . . . λn en thì f x λ 1 f e1 λ 2 f e2 . . . λ n f e n Mặt khác f e1 f 1 f e2 f 2 . . . f e n f n x f e1 f 1 f e2 f 2 . . . f e n f n λ 1 e1 λ 2 e2 . . . λ n e n n λ i f e j f j ei i j 1 n λ i f ei i j 1 f x 74 2. Hạt nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính 75 2. HẠT NHÂN VÀ ẢNH CỦA ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH Định nghĩa . Cho T V W là một ánh xạ tuyến tính từ không gian véctơ V tới không gian véctơ W . Khi đó Ker T x x V T x 0 được gọi là hạt nhân của T . Im T y y W x V T x y T x x V được gọi là ảnh của T . Các tính .