tailieunhanh - Các phương pháp giải phương trình hàm thường dùng

Tài liệu tham khảo dành cho giáo viên, học sinh đang trong giai đoạn ôn thi đại học chuyên môn toán học - Kiến thức và bài tập toán giúp bạn củng cố và nâng cao kỹ năng giải nhanh các bài là tài liệu về phương trình hàm ( chưa rõ tác giả ) viết bằng tiếng viết rất hay, tập hợp những phương pháp thông dụng nhất để giải các phương trình hàm,các bạn tham khảo nhé ,rất thú vị đấy | CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH HÀM THƯỜNG DÙNG Phương pháp 1 Hệ số bất định. Nguyên tắc chung Dựa vào điều kiện bài toán xác định được dạng của f x thường là f x ax b hoặc f x ax2 bx c. Đồng nhất hệ số để tìm f x . Chứng minh rằng mọi hệ số khác của f x đều không thỏa mãn điều kiện bài toán. Ví dụ 1 Tìm f R R thỏa mãn f xf y x xy f x Vx y e R 1 . Lời giải í x 1 Thay j y e R vào 18 ta được f f y 1 y f 1 a . Thay y -f 1 -1 vào a suy ra f f -f 1 -1 1 -1. Đặt a f -f 1 -1 1 ta được f a -1. Chọn y ta được f xf a x xa f x xa f x f 0 . x e R Đặt f 0 b f x -ax b. Thế vào 1 và đồng nhất hệ số ta được a 1 f x x f x - x a2 1 -ab - a -a a -1 b 0 Vậy có hai hàm số cần tìm là f x x và f x -x. ải miễn phí Đề thi - Tài liêu Hoc tập Ví dụ 2 Tìm f R R thỏa mãn f f x y y f x - f y Vx y e R 2 . Lời giải Cho y 0 xe R 2 f f x 0 Vxe R a . Cho x f y 2 f f f y y yf 0 a . a a f y y f 0 . Đặt f 0 a f y ay Vy e R. Thử lại 2 ta được a2 x2 y2 a y - xy 0 Vx y e R a 0 f x 0 Vx e R. Vậy có duy nhất hàm số f x 0 thỏa mãn bài toán. Ví dụ 3 Tìm f g R R thỏa mãn 2f x -g x f y -y Vx ye R a f x g x x 1 Vx e R b Lời giải Cho x y e R khi đó a f x g x - x .Thay lại a ta được 1 g x 2x - 2y g y Vx y e R c . Cho y 0 x e R từ c ta được g x 2x g 0 . Đặt g 0 a ta được g x 2x a f x x a. Thế vào a b ta được 2 x a 2 x a a b x a 2x a x 1 Vxe R 2x2 3a-1 x a2 -1 0 Vxe R a - 3 2 0 a 3. Vậy f x x 3 g x 2 x 3. Ví dụ 4 Đa thức f x xác định với Vx e R và thỏa mãn điều kiện 2f x f 1 - x x2 Vxe R 1 . Tìm f x . Lời giải Ta nhận thấy vế trái của biểu thức dưới dấu f là bậc nhất x 1 - x vế phải là bậc hai x2. Vậy f x phải có dạng f x ax2 bx c. Khi đó 1 trở thành 2 ax2 bx c a 1 - x 2 b 1 - x c x2 Vx e R do đó 3ax2 b - 2a x a b 3c x2 Vx e R 3a 1 Đồng nhất các hệ số ta thu được d - 2a 0 a b 3c 0 í_ 1 a 3 b 2 3 _1 c - 3 1 2 Vậy f x 3 x 2x -1 Thử lại ta thấy hiển nhiên f x thỏa mãn điều kiện bài toán. Ta phải chứng minh mọi hàm số khác f x sẽ không thỏa mãn điều kiện bài toán Thật vậy giả sử còn hàm số g x khác f x thỏa mãn điều .