tailieunhanh - Mẹo tính nhanh tích phân từng phần

Tài liệu tham khảo luyện thi đại học môn toán - Mẹo tính nhanh tích phân từng phần. | Trước tiên ta nhắc lại một chút về kiến thức của phép lấy tích phân theo từng phần Giả sử u và v là hai hàm số khả vi của x. Khi đó như ta đã biết vi phân của tích uv được tính theo công thức dịuv udv vdu Từ đó lấy tích phân ta được uv Ị U ỉu4- ị vdu Hay là J udv tíu y vdn Công thức này gọi là công thức lấy tích phân từng phần. Công thức này thường được dùng để lấy tích phân các biểu thức có thể biểu diễn dưới dạng tích của hai nhân tử u và dv sao cho việc tìm hàm số v theo vi phân dv của nó và việc tính tích phân vdu . . . . . . . là những bài toán đơn giản hơn so với việc tính trực tiếp tích phân . Y nghĩa tách biểu thức dưới dấu tích phân thành các thừa số u và dv thường xảy ra trong quá trình giải các bài toán có dạng sau Pn z cũ3axdx Pn x .eaỵdz p n z dnzdz trong đó Pn là đa thức bậc n. Với các dạng trên thì thông thường vai trò của u luôn là đa thức Pn và dv là phần còn lại. Như vậy ta có sơ đồ sau Khi được tích phân mới ta lại được một tích phân lại là một trong các dạng và phần đa thức mới lại đóng vai trò là u còn phần còn lại tiếp tục đóng vai trò là v. Cứ thế cho đến khi bậc của đa thức là bậc 0 thì sẽ có kết quả. Như vậy các đa thức luôn đóng vai trò u nghĩa là lấy đạo hàm còn phần còn lại luôn là dv lấy tích phân nên ta sẽ xây dựng thuật toán gồm 2 cột 1 cột chuyên lấy đạo hàm của đa thức cho đến khi giá trị bằng 0 1 cột luôn lấy tích phân tương ứng với cột kia. Sau đó ghép các giá trị uv lại ta sẽ có kết quả. Hay ta có sơ đồ sau Ví dụ 1 Tính J x2 7x-5 .cos2xdx Ta lập sơ đồ như sau Khi đó kết quả của tích phân này sẽ là 1 _ cos2x sin2x x2 7 x - 5 2 x 7 ------- 2 4 4 Ví dụ 2 Tính J x3 4x2 -5x 6 .e xdx Ta có sơ đồ sau Vậy dựa vào sơ đồ trên ta có kết quả của bài toán là -x3 4x2-5x 6 e x- 3x2 8x-5 e-x- 6x 8 e-x-6e-x -ì - -- - -- .