tailieunhanh - Chuyên đề Bất đẳng thức AM-GM (Cô-si)

Trong các bài toán về bất đẳng thức và cực trị thì bất đẳng thức Cô-si được ví như viên kim cương bởi tính ưu việt trong việc chứng minh các bất đẳng thức khác cũng như tìm cực trị. Trong chương trình THCS chủ yếu là vận dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm. Do vậy trong chuyên đề này sẽ chỉ nêu ứng dụng trong việc giải các bài toán bằng việc vận dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm. Mời các bạn cùng tham khảo chuyên đề để nắm chi tiết hơn các kiến thức. | Chuyên đề. BẤT ĐẲNG THỨC AM-GM CÔ-SI A. Kiến thức cần nhớ Trong các bài toán về bất đẳng thức và cực trị thì bất đẳng thức Cô-si được ví như viên kim cương bởi tính ưu việt trong việc chứng minh các bất đẳng thức khác cũng như tìm cực trị. Trong chương trình THCS chủ yếu là vận dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm. Do vậy trong chuyên đề này sẽ chỉ nêu ứng dụng trong việc giải các bài toán bằng việc vận dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm. Bất đẳng thức Cô-si cho hai số x y không âm ta có x y x y xy hoặc xy 2 2 Dấu bằng chỉ xảy ra khi x y. Bất đẳng thức Cô-si còn được gọi là bất đẳng thức về trung bình cộng và trung bình nhân AM-GM . B. Một số ví dụ Ví dụ 1 Chứng minh rằng với mọi số dương a b c ta có 4a 3b 5c 2 ab 2 bc 3 ca Đẳng thức xảy ra khi nào Thi học sinh giỏi Toán 9 tỉnh Gia Lai Giải Tìm cách giải. Nhận thấy vế phải xuất hiện ab 2 bc 3 ca do vậy rất tự nhiên chúng ta nghĩ tới việc dùng bất đẳng thức Cô-si. Vấn đề còn lại là tách vế trái thành những hạng tử thích hợp nhằm khi vận dụng bất đẳng thức Cô-si thì lần lượt xuất hiện các hạng tử vế phải. Trình bày lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có a b 2 ab 1 2b 2c 4 bc 2 3a 3c 6 ca 3 Từ 1 2 và 3 cộng vế với vế ta được 4a 3b 5c 2 ab 2 bc 3 ca Đẳng thức xảy ra khi a b c. Ví dụ 2 Cho S . . So sánh S với 10102 Giải Tìm cách giải. Nhận thấy các hạng tử trong tổng S thì 1 2019 3 2017 . 2019 1 và bằng . Nhằm xuất hiện tổng giống nhau đó và cũng liên quan tới số 1010 chúng ta nghĩ tới việc vận dụng bất đẳng x y thức Cô-si dạng xy 2 Trình bày lời giải x y Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có xy 2 1 2019 3 2017 5 2015 2019 1 Suy ra S . 2 2 2 2 S 1010 1010 1010 . 1010 S 10102 a2 b2 c2 Ví dụ 3 Cho a b c là các số lớn hơn 1. Chứng minh 12 b 1 c 1 a 1 Giải Tìm cách giải. Quan sát bất đẳng thức cần chứng minh ta thấy vế phải là tổng ba hạng tử dương có chứa mẫu số còn vế trái là một số thực. Do vậy chúng ta cần chọn một hạng tử thích hợp để khi vận dụng bất a2 a2 đẳng thức