tailieunhanh - Luận án Tiến sĩ Toán học: Về một số vấn đề định tính của hệ phương trình vi phân phân thứ

Luận án này được dành để nghiên cứu lý thuyết định tính của phương trình vi phân phân thứ: Số mũ Lyapunov, lý thuyết ổn định, không ổn định và sự tồn tại đa tạp ổn định. Cách xây dựng một toán tử Lyapunov–Perron phù hợp với phương trình vi phân phân thứ, chúng ta thiết lập được một định lí về sự tồn tại của đa tạp ổn định gần điểm cân bằng hyperbolic cho một lớp phương trình vi phân phân thứ phi tuyến tương đối tổng quát trên các không gian hữu hạn chiều bất kì. | VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM VIỆN TOÁN HỌC HOÀNG THẾ TUẤN VỀ MỘT SỐ VẤN ĐỀ ĐỊNH TÍNH CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN PHÂN THỨ LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2016 VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM VIỆN TOÁN HỌC HOÀNG THẾ TUẤN VỀ MỘT SỐ VẤN ĐỀ ĐỊNH TÍNH CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN PHÂN THỨ Chuyên ngành Phương trình Vi phân và Tích phân Mã số LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn TSKH. ĐOÀN THÁI SƠN GS. TSKH. NGUYỄN ĐÌNH CÔNG Hà Nội - 2016 Tóm tắt Luận án này được dành để nghiên cứu lý thuyết định tính của phương trình vi phân phân thứ số mũ Lyapunov lý thuyết ổn định không ổn định và sự tồn tại đa tạp ổn định. Luận án gồm 4 chương chính. Trong Chương 1 chúng ta nhắc lại các kiến thức cơ bản liên quan đến giải tích phân thứ tích phân phân thứ đạo hàm phân thứ và phương trình vi phân phân thứ. Ngoài ra chúng ta cũng đưa vào đây những tính chất quan trọng của hàm Mittag-Leffler. Những tính chất này có vai trò then chốt để nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm của phương trình vi phân phân thứ ở các chương tiếp theo. Trong Chương 2 đầu tiên chúng ta chỉ ra rằng số mũ Lyapunov cổ điển cho các nghiệm không tầm thường bất kì của các phương trình vi phân phân thứ tuyến tính với hệ số liên tục và bị chặn luôn không âm. Sau đó chúng ta định nghĩa một kiểu số mũ Lyapunov mới số mũ Lyapunov phân thứ và sử dụng số mũ này để đặc trưng tính ổn định của nghiệm tầm thường cho các phương trình vi phân phân thứ tuyến tính với hệ số liên tục và bị chặn. Cuối cùng như một ví dụ minh họa chúng ta tính tường minh số mũ Lyapunov phân thứ cho tất cả các nghiệm không tầm thường của một phương trình vi phân phân thứ tuyến tính hệ số hằng hai chiều tùy ý. Trong Chương 3 trước hết chúng ta chứng minh rằng điểm cân bằng của phương trình vi phân phân thứ là ổn định tiệm cận nếu như phương trình tuyến tính hóa của nó tại điểm cân bằng đang xét cũng ổn định tiệm cận tức là tất cả các giá trị riêng của ma trận hệ số trong phương trình tuyến tính hóa đều nằm .