tailieunhanh - Đề thi cao học Huế 2009 giải tích

Đề thi cao học Huế 2009 giải tích dùng tham khảo, luyện tập kỹ năng giải bài tập, hướng tới việc ôn thi cao học, tài liệu sẻ giúp ích cho các rất nhiều trong việc tự học, giúp các anh chị trong các kỳ thi cao học. Tài liệu gồm các đề thi sưu tầm và lời giải chi tiết. | BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC HUẾ Họ và tên thí sinh . Số báo danh . KỲ THI TUYỂN SINH SAU ĐẠI HỌC NÃM 2009 Đợt 2 Môn thi GiẢi TÍCH Dành cho cao học Thời gian làm bài 180 phút Câu 1. a. Cho dãy số thực dn n. Chứng minh rằng nếu chuỗi 00 Ũ n l hội tụ tại X X0 thì nó sẽ hội tụ tại mọi X X0. b. Cho chuỗi hàm 2n 1 _ v2 1 1 1 1 1 X n l Khảo sát sự hội tụ tuyệt đối và đều của chuỗi hàm 1 . Tính tổng của chuỗi hàm 1 . Câu 2. Cho X d là một không gian mêtric. Trên X ta định nghĩa a. Chứng minh rằng d _ là một mêtric trên X. b. Chứng minh rằng X d là một không gian mêtric đầy đủ khi và chỉ khi X d _ cũng là một không gian mêtric đầy đủ. Câu 3. Cho X Y là hai không gian định chuẩn trên cùng một trường cơ sở và A X Y là một ánh xạ tuyến tính thoả mãn điều kiện với mỗi dãy xn n c X hội tụ về 0 thì dãy A xn n bị chặn. Chứng minh rằng A là ánh xạ tuyến tính liên tục. Câu 4. Xét không gian Hilbert phức ỉ 2 gồm tất cả các dãy số phức X xn n sao cho z n 1 I Xn I 2 00 với tích vô hướng X y z ìXnỹ . Giả sử ưn n là một dãy số phức bị chặn. Cho A ỉ2 ỉ2 xác định bởi Ax anx n x xn n E T2. a. Chứng minh rằng A là toán tử tuyến tính liên tục. Tính chuẩn của A. b. Chứng minh rằng nếu ưn n là dãy số thực thì A là một toán tử tự T Ghi chú Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Họ và tên thí sinh . ĐẠI HỌC HUẾ Số báo danh . KỲ THI TUYỂN SINH SAU ĐẠI HỌC NÃM 2010 Đợt 1 Môn thi GIAI TíCh Dành cho cao học Thời gian làm bài 180 phút Câu 1. a. Chứng minh bất đẳng thức 2x x ln x 1 Vx e . x 2 b. Cho a 1 tìm tất cả các số thực a để chuỗi sau hội tụ œ n 1 c. Cho hàm số f xác định trên hình vuông D 0 1 X 0 1 x 1 y nếu x y f x y y 1 x nếu x y. Khảo sát tính khả vi của hàm f tại các điểm trong của D. Câu 2. Chứng minh rằng với mọi số nguyên n 1 hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất trong tập D 0 1 X 0 1 xn yn n 3nx lx2n y2n n 6nx. Câu 3. Cho X C 0 1 với chuẩn xH max x t t e 0 1 . Cho ánh xạ A X X xác định bởi Ax t t x 1 0 1 t x t Vx e A te 0 1 . Chứng minh A là ánh xạ tuyến tính