tailieunhanh - Bài tập hệ phương trình và phép biến đổi tương đương

Biến đổi Laplace là một biến đổi tích phân và cùng với biến đổi Fourier là hai biến đổi rất hữu ích và thường được sử dụng trong giải các bài toán vật lý. Qua biến đổi Laplace, các phép toán giải tích phức tạp như đạo hàm, tích phân được đơn giản hóa thành các phép tính đại số (giống như cách mà hàm logarit chuyển một phép toán nhân các số thành phép cộng các logarit của chúng). | http HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI 1. VÀI PHÉP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG HỆ PHƯƠNG TRÌNH Phần này chứng minh một vài định lí về những phép biến đổi tương đương hệ phương trình. Chúng là cơ sở cho việc giải hệ phương trình. Trước hết ta nhớ lại rằng Hai hệ phương trình được gọi là tương đương nếu chúng có cùng một tập nghiệm. Giải một hệ phương trình là thực hiện liên tiếp những phép biến đổi tương đương để đưa hộ đã cho về hộ phương trình đơn giản nhất. Bây giờ ta tìm hiểu vài phép biến đổi tương đương cơ bản. Để cho đơn giản ta chỉ phát biểu các định lí dưới đây đối với hệ hai phương trình hai ẩn song chúng cũng đúng đối với hệ có một số hữu hạn phương trình và số hữu hạn ẩn. Chúng là những cách phát biểu tổng quát các phương pháp giải hệ phương trình đã được học ở lớp 9. Ta kí hiệu một phương trình hai ẩn bởi đẳng thức F x. y G x y trong đó F và G là những biểu thức của hai biến X và y. Nếu cho X a y p với a p là những số thực thì F a P G a P trở thành những số thực. Khi hai phương trình Fị x y Gj x y và F2 x y G2 x y tương đương thì ta viết Fj x y Gị x y F2 x y G2 x y . Tĩ Bạn hãy chứng tỏ rằng hai hệ phương trình sau tương đương fx-2y l 1 _ x 2y l D 7 ù n 2 x2-xy 6 2 x2-xy 6 2 Nhận xét hai hệ trên thấy rằng ta đã thay phương trình 1 bởi phương trình tương đương với phương trình 1 để được hệ II . Tổng quát ta có ĐỊNH LÍ 1. Nếu ta thay một phương trình trong hệ bởi một phương trình tương đương với nó thì được một hệ tương đương với hệ đã cho. 53 Bạn hãy tìm hiểu cách chứng minh dưới đây để có thể vận dụng nó mà tự chứng minh các định lí tiếp theo. Chứng minh. Giả sử I Fj x y Gj x y F2 x y G2 x y P và II F1 x y s G x y 2 F2 x y G2 2 trong đó 1 1 và giả sử a p là một nghiệm của hệ I . Khi đó F a P G1 a P F2 a p G2 a P Vì 1 nên a P cũng là nghiệm của tức là Fj a P G j a P . Do đó F1 a P G a P F2 a P G2 a P Điều này chứng tỏ a P cũng là nghiệm của II . Tương tự ta cũng chứng minh được rằng nếu a P là một nghiêm cùa II thì nó cũng là một nghiệm của I . Vậy