tailieunhanh - Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 cấp thành phố năm 2020-2021 - Sở GD&ĐT Hà Nội

Nhằm giúp các em có thêm tài liệu ôn tập cho kì thi học sinh giỏi môn Toán. Mời các em tham khảo Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 cấp thành phố năm 2020-2021 - Sở GD&ĐT Hà Nội, để củng cố lại kiến thức môn học, rèn luyện kỹ năng giải đề và nâng cao tư duy Toán học. Chúc các em ôn tập tốt và đạt kết quả cao! | ĐỀ THI CHỌN ĐT HSG QUỐC GIA TP HÀ NỘI NĂM HỌC 2020-2021 Phan Phương Đức - Nguyễn Tiến Dũng A. NGÀY THỨ NHẤT 19 10 2020 un Bài 1. Cho dãy số un xác định bởi u1 1 và un 1 n 1. Tìm giới hạn lim n u . n 2n un 3 Bài 2. Cho đa thức P x x a1 x a2 x a9 3 trong đó a1 a2 a9 là các số nguyên đôi một khác nhau. Chứng minh P x không phân tích được thành tích của hai đa thức với hệ số nguyên có bậc lớn hơn hoặc bằng 1. Bài 3. Cho tam giác ABC cân tại A BAC lt 90 và M là trung điểm của đoạn thẳng AB. Lấy điểm N thuộc đoạn thẳng CM sao cho CBN ACM . a Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác BCN tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác AM N . b Đoạn thẳng AC cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác AM N tại điểm thứ hai là P . Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng BC. Chứng minh đường thẳng N P đi qua trung điểm của đoạn thẳng M I. Bài 4. Tìm số bộ nguyên dương a1 a2 a15 thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau i 1 a1 lt a2 lt lt a15 2020 ii ai i2 mod 5 i 1 2 15. B. NGÀY THỨ HAI 20 10 2020 Bài 5. Tìm tất cả các hàm số f R R thỏa mãn f 4xf x f y 4 f x 2 y x y R. Bài 6. Cho tam giác ABC nhọn AB lt AC nội tiếp đường tròn O . Các đường cao AD BE và CF của tam giác ABC đồng quy tại H. Đường thẳng EF cắt đường thẳng BC tại điểm S. Qua S kẻ các tiếp tuyến SX SY tới đường tròn O với X Y là các tiếp điểm. a Chứng minh D X Y thẳng hàng. b Gọi I là giao điểm của hai đường thẳng XY và EF . Chứng minh đường thẳng IH đi qua trung điểm của đoạn thẳng BC. Bài 7. Cho p là một số nguyên tố lớn hơn 3. p 1 X 2 a Chứng minh Cpi 0 mod p3 . i 1 p b Cho n là một số nguyên dương thỏa mãn n 1 mod p . Chứng minh Cnp n mod p4 . Trang 1 Đề thi chọn ĐT HSG Quốc gia TP Hà Nội năm học 2020-2021 C. HƯỚNG DẪN GIẢI un Bài 1. Cho dãy số un xác định bởi u1 1 và un 1 n 1. Tìm giới hạn lim n u . n 2n un 3 Lời giải Từ giả thiết dễ chứng minh bằng quy nạp un 6 0 n N . 1 3 Khi đó ta có 2n un 1 un 1 n 1 1 n n 1 2 3 2 3 2 3n 1 un 1 un u1 1 1 3n 2n un n n R un 3 2n 1 1 1 Khi đó lim n un s n lim 3n 2n 2 n 3 3 lim n 1 3 Bài 2. Cho đa