tailieunhanh - Luận văn Thạc sĩ Toán học: P-Nhóm và ứng dụng trong lý thuyết số

Lý thuyết nhóm nói chung và các p-nhóm nói riêng có nhiều áp dụng trong Lý thuyết số. Sở dĩ như vậy vì tập các số nguyên Z với phép cộng là một nhóm giao hoán. Thương của nhóm (Z,+) cho các nhóm con vô hạn của nó sinh ra các nhóm xyclic hữu hạn. Trong các nhóm thương này nhóm Zp (hay Z/pZ) với p là số nguyên tố đóng một vai trò đặc biệt quan trọng trong lý thuyết số. | ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TRƯƠNG BÁ VẤN P-NHÓM VÀ ỨNG DỤNG TRONG LÝ THUYẾT SỐ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2016 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TRƯƠNG BÁ VẤN P-NHÓM VÀ ỨNG DỤNG TRONG LÝ THUYẾT SỐ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành Phương pháp Toán sơ cấp Mã số 60460113 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS. HOÀNG VĂN HÙNG Thái Nguyên - 2016 i Mục lục Lời nói đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 Lý thuyết các p-nhóm 3 Nhóm đồng cấu và đẳng cấu nhóm . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Nhóm giao hoán và nhóm xyclic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Nhóm con và nhóm con chuẩn tắc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Nhóm thương và các định lý đẳng cấu . . . . . . . . . . . . . . . . 8 Tác động của nhóm trên một tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 Các p-nhóm và p-nhóm con Sylow . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 Ứng dụng lý thuyết các p-nhóm trong lý thuyết số 22 Bổ đề Burnside và các hệ quả . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Định lý Fermat bé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 Định lý Willson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 Định lý Lucas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 Định lý Fermat về tổng hai bình phương . . . . . . . . . . . . . . . . 31 Luật tương hỗ bậc hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 Về giá trị của ký hiệu Legendre p2 và 1 p . . . . . . . . . . . . 38 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 1 LỜI NÓI ĐẦU Lý thuyết nhóm nói chung và các p-nhóm nói riêng có nhiều áp dụng trong Lý thuyết số. Sở dĩ như vậy vì tập các số nguyên Z với phép cộng là một nhóm giao hoán. Thương của nhóm Z cho các nhóm con vô hạn của nó sinh ra các nhóm xyclic hữu hạn. Trong các .