tailieunhanh - Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán lớp 12 năm học 2012-2013 – Sở Giáo dục và Đào tạo Lào Cai

"Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán lớp 12 năm học 2012-2013 – Sở Giáo dục và Đào tạo Lào Cai" là tài liệu bổ ích để các em ôn luyện và kiểm tra kiến thức tốt, chuẩn bị cho kì thi sắp tới. | SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LAO CAI ĐỀ KIỂM TRA ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 . TRƯỜNG THPT CHUYÊN Môn Toán. Thời gian 180 phút TỔ TOÁN TIN Không kể thời gian giao đề Câu 1 3 điểm Cho trước hằng số a và dãy số thực xn được xác định như sau x1 a 1 . xn 1 ln 1 xn2 2004 n N 2 Chứng minh dãy xn hội tụ. x 2 21 y 1 y 2 Câu 2 3 điểm Giải hệ phương trình y 2 21 x 1 x 2 Câu 3 3 điểm Cho a b c là các số dương. Chứng minh bất đẳng thức a 2 b2 b2 c 2 c 2 a 2 3 a 2 b 2 c 2 a b b c c a a b c Câu 4 3 điểm Cho hình thang ABCD có đáy AB và CD. Gọi E là giao điểm của AC và BD gọi F G lần lượt là trực tâm tam giác AED và tam giác EBC. Gọi H là trung điểm FG. Chứng minh EH AB Câu 5 2 điểm Cho một lục giác đều. Tại mỗi đỉnh của lục giác có một con chim đậu. Vào cùng một lúc tất cả sáu con chim đều bay lên khỏi vị trí của mình. Rồi sau đó cả sáu con lại đậu xuống cùng một lúc chúng lại đậu xuống các đỉnh nhưng không nhất thiết đậu xuống vị trí cũ của mình. Chứng minh rằng tồn tại 3 con chim sao cho tam giác tạo bởi các đỉnh mà chúng đậu trước khi bay bằng tam giác mà chúng đậu sau khi bay. Câu 6 3 điểm Tìm hàm số f x thoả mãn f x y f x . f y 2007 x y x y R . Câu 7 3 điểm Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn O . Tiếp tuyến với O tại A cắt đường thẳng BC tại D. Gọi E là tâm đường tròn qua A và tiếp xúc BC tại B gọi F là tâm đường tròn qua A và tiếp xúc BC tại C. Chứng minh D E F thẳng hàng. Họ và tên thí sinh . Số báo danh . Chú ý Giám thị không giải thích gì thêm. Thí sinh không được sử dụng tài liệu SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LAO CAI ĐÁP ÁN KIỂM TRA ĐỘI TUYỂN TOÁN 12 Câu Nội dung Điểm 1 1 Xét hàm số f x ln 1 x2 2004 x R. 2 x 1 Có f x x R . 1 x2 2 x x 1 2 Xét hàm số g x x f x . Ta có g x gt 0 x R . Do đó g x x2 1 đồng biến trên R. Mặt khác g 0 .g 2004 x y x 2 21 x 1 x 2 1 1 x 2 21 5 x 1 1 x 2 4 x2 4 x 2 x 2 x 2 x 2 21 5 x 1 1 1 1 x 2 x 2 1 0 x 1 1 x 2 21 5 1 1 x 2 Do x 2 1 gt 0 x 1 1 x 2 21 5 Vậy hệ có nghiệm duy nhất 2 2 . 3 a 2 b 2 b 2 c 2 c 2 a 2 3 a 2 b 2