tailieunhanh - Phương trình hàm nâng cao P2

Phương trình hàm nâng cao P2 Bài toán về phương trình hàm thường xuất hiện trong các kì thi học sinh giỏi như IMO, VMO. Nhưng những người viết sách về nó cũng không nhiều, ở Việt Nam thì thấy có cuốn Phương trình hàm của Nguyễn Văn Mậu, gần đây có Nguyễn Giang Giai (không biết còn ai nữa không). Bài viết này tập hợp rất nhiều sách về phương trình hàm. Bên cạnh các tài liệu tiếng Anh một số tài liệu tiếng Việt cũng khá thú vị. . | Lời giải Cho x y l l l . l W l l vì l 0 l l. Í yf y f fự yf y f y ì y y y Mặt khác y y r 1 yf y f f 7 yf y f yf y yf y f f y 1 1 . yf y I Vì y 0 nên yf y ệ Q l W Q u z f y j Vy e 0 . Thử lại thấy đúng. y Ví dụ 13 Tìm f R R thỏa mãn 0 4 w 3 e R f a-y f x f a- x f y f x y Vx yeR b Lời giải Cho x y o b f a . Cho y 0 xe R ta được x x . o . a-x x ư-x c . Cho y a-x xe R ta được f ư a-x d . 4 -4 thì 2 -V61í Vậy f x Vxe R. Thử lại thấy đúng. Neu 3xữ e R sao cho f xo 16 Ví dụ 14 Tìm f R R thỏa mãn f x - y 2 x2 - 2y f x f y 2 Vx y e R 14 . Lời giải Cho x y 0 f 0 f 0 2 f 0 0 f 0 1 Nếu f 0 0 Cho J y ta được f x2 x2 f t t Vt 0 t x e R ỵ Cho x y e R ta được f 0 x2 - 2xf x f x f x -x 0 f x x. Thử lại thấy đúng. Nếu f 0 1 Cho J y ta được f x2 x2 1 f t t 1 Vt 0. x e R Cho x 0 y e R ta được f y2 -2y f y 2 f y 2 f y2 2y f y y 1 f y -y-1 y2 1 2y y 1 2 Giả sử B yo e R sao cho f yo -yo -1. Chọn x y yo ta được 1 yo2 - 2 yof yo f yo 2 f yo yo-1 f yo yo 1 Nếu f yo yo-1 - yo-1 yo-1 yo 0 và f 0 -1 Uoậ . Nếu f yo yo 1 - yo-1 yo 1 yo -1 f -1 0. Thỏa mãn f yo yo 1. Vậy f y y 1 Vy e R. Thử lại thấy đúng. Ví dụ 15 Tìm f R R thỏa mãn f f x- y f x f y -f x f y -xy Vx y e R 15 . Lời giải Cho x y 0 f f 0 f 0 2. Đặt f 0 a f a a2. Cho x y e R f x x2 f a f x x2 a2 . f x 2 f -x 2 f x f -x f x - f -x Nếu 3xo e R sao cho f xo f -xo Chọn x 0 y -xo f f xo af -xo -a f -xo a . 17 Chọn V 0 x -xo f f xo af xo a- f xo b . a b a f xo - f -xo - f xo f -xo 2a 0 c . Vì f xo f -xo nên f xo a giả thiết xo e R. Vậy f x - f -x Vxe R. Ta thấy c không phụ thuộc vào xo nên ta có a f x - f -x - f x f -x 2a 0 c . Thay f x - f -x suy ra . 2 2 . 2 xo a a x0 a xo 0 trái với a f x 1 0 Ö a 0 f x -1. 9 Nếu a 0 f x x2 Ö f x x f x -x Giả sử tồn tại xo e R để f xo xo. Khi đó b suy ra xo f xo axo a - xo xo 0 trái giả thiết xo e R . Vậy f x -x Vx e R. Thử lại thấy đúng Nếu f x -1 Vxe R . Thử lại ta được 15 Ö xy 2 Vx Ve R. Vô lí. Vậy hàm số cần tìm là f x Nhận xét Có một suy luận hay nhầm lẫn được sử dụng các VD x .