tailieunhanh - Biến phức định lý và áp dụng P4

Biến phức định lý và áp dụng P4 Biến phức là hàm số mà miền xác định và miền giá trị đều nằm trong tập hợp các số phức. Việc cho HBP w = f(z) tương đương với việc cho hai hàm biến thực u = u(x, y) và v = v(x,y), trong đó w = u + iv, z = x + iy. Hàm u gọi là phần thực của hàm w, kí hiệu Re w; hàm v gọi là phần ảo của w, kí hiệu Im w. Lớp HBP quan trọng nhất là lớp. | 152 Chương 3. Một số ứng dụng của số phức trong đại số z- J1 z3 zi cấu đó được xác định theo công thức w w1 w3 w2 z z1 w w z Z2 Chứng minh 1. Tính duy nhất. Giả sử ta có hai đẳng cấu w1 z và w2 z thỏa mãn các điều kiện của định lí. Giả sử z2 w là ánh xạ ngược của w2 z . Ta xét ánh xạ Z2 w1 z . đó là một đẳng cấu phân tuyến tính. đẳng cấu này có ba điểm bất động z1 z2 và z3 vì Do đó nếu đặt Z2 w1 z wi zk Wk k 1 2 3 Z2 wk zk k 1 2 3. az b ------ - thì cz d azk b - zk k 1 2 3 czk d hay là czk d a zk b 0 k 1 2 3. Đa thức bậc hai ở vế trái chỉ có thể có ba nghiệm khác nhau z1 x2 z3 khi mọi hệ số của nó đều bằng 0 tức là a d b c 0 và Z2 w1 z z hay là w1 z w2 z . 2. Sự tồn tại. Đẳng cấu phân tuyến tính thỏa mãn điều kiện của định lí được xác định theo công thức . Thật vậy giải phương trình đối với w ta thu được hàm phân tuyến tính. Ngoài ra khi thế cặp z z1 và w W1 vào thì cả hai vế của đều bằng 0. Thế cặp z z3 và w w3 vào ta thu được cả hai vế đều bằng 1 và cuối cùng thế cặp z z2 và w w2 ta thu được cả hai vế đều bằng X. Trong hình học biểu thức z z1 z3 z1 z z2 z3 z2 . Phương trình hàm với biến đổi phân tuyến tính 153 được gọi là tỉ số phi điều hòa của bốn điểm z z1 z2 và z3. Nếu bốn điểm z1 z2 z z3 nằm trên một đường tròn hoặc đường thẳng thìtỉ số phi điều hòa là một số thực. Thật vậy a Nếu các điểm z1 z2 z z3 nằm trên đường thẳng z Co té1 X t TO ta có Z1 Zo t1éia Z2 Zo t2éia z Zo toéia Z3 Zo t3éia và từ đó z z Z1 3 Z1 to t1 t3 t1 G R z1 z2 z z3 - ----------- 7------ 7 e R. z Z2 Z3 Z2 to t2 t3 Ủ2 b Nếu các điểm z z1 z2 z3 nằm trên đường tròn z zo réit r 0 0 t 2n ta có Z1 zo reiipí z2 zo réilfi2 z3 zo ré 3 và từ đó ta có Z1 Z2 Z Z3 gi Q é l é 3 é l gi Q gi 2 gi 3 gi 2 ỵọ 1 éi 2 ỵ0-yi é 2 ỵ0-yi é i 2 iỵ2 a r iy3-yi _. 3- 1 é 2 é 2 é - 2 Vữ 2 é1 2 i VỌ-VỊ _i ro-VỊ é 2 é - 2 in 3 r y3-y2 .ỵ3- 2 é 2 é 2 é 2 Vo 1 Vo P1 sin - sin- -- -77 -- n. - G R Vo V2 V3 V2 sin - sin- 22 Từ định lí ta rút ra một tính chất quan trọng nữa của đẳng cấu