tailieunhanh - Giáo trình Toán giải tích A4

Giáo trình Toán giải tích A4 có nội dung trình bày về phương trình vi phân cấp một, phương trình vi phân tuyến tính cấp hai, sơ lược phép biến đổi Laplace, . Mời các bạn cùng tham khảo. | Giáo trình Toán giải tích A4 ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TP HỒ CHÍ MINH KHOA TÓAN-TIN HỌC Tiến sĩ Nguyễn Thanh Vũ Niên khóa 2009-2010 Toaùn GIẢI TÍCH A4 GV Nguyeãn Thanh Vuõ- 2009 Trang 1 CHƯƠNG 1 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT 1. ĐỊNH NGHĨA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Khái niệm Xét một phương trình mà ẩn là hàm số một biến y chẳng hạn như y 3xy 5y y 0 trong đó có chứa đạo hàm của y. Phương trình này được gọi là phương trình vi phân . Cấp cao nhất của đạo hàm trong phương trình là cấp 2 nên phương trình này được gọi là phương trình vi phân cấp 2. Phương trình y 3xy 5y 0 được gọi là phương trình vi phân tuyến tính cấp 2. Phương trình 3y 7xy sin x được gọi là phương trình vi phân tuyến tính cấp 1. Phương trình y 3xy 5y y 0 là phương trình vi phân nhưng không tuyến tính. Phương trình vi phân y 2xy-3y2 có dạng y f x y và được gọi là phương trình đã giải ra đối với đạo hàm. Coi phương trình vi phân y 1. Nghiệm trên của phương trình vi phân này có dạng y x C với C là hằng số tùy ý. Người ta gọi y x C trong đó C là hằng số tùy ý là nghiệm tổng quát general solution của phương trình vi phân y 1 trên . Các hàm số y x 1 y x 2 được gọi là các nghiệm đặc biệt particular solution của phương trình vi phân y 1 trên . Đường biểu diễn của nghiệm y y x được gọi là đường cong nghiệm hay đường cong tích phân của phương trình vi phân. Xét phương trình vi phân yy x . Lấy tích phân hai vế ta được y 2 x 2 C . Hệ thức y 2 x 2 C được gọi là nghiệm ẩn implicit solution của phương trình vi phân. Khi nào nghiệm có dạng y f x thì nó được gọi là nghiệm tường minh explicit solution . . Định nghĩa phương trình vi phân Một phương trình vi phân là phương trình hàm một biến có chứa đạo hàm của hàm cần tìm. Nếu bậc cao nhất của đạo hàm trong phương trình vi phân là n thì phương trình này được gọi là phương trình vi phân cấp n. Xét phương trình vi phân cấp n F x y y y n 0 n n trong đó biểu thức F x y . y thực sự chứa y . Hàm số y y x được gọi là nghiệm của .