tailieunhanh - SKKN: Phương trình hàm và giải tích

Phương trình hàm là một chuyên đề phong phú với nhiều phương pháp giải. Các yếu tố giải tích là một công cụ rất mạnh để giải quyết một số bài toán phương trình hàm Trong đề tài nhỏ này giới thiệu một số phương pháp giải phương trình hàm dựa vào các yếu tố giải tích. | SKKN Phương trình hàm và giải tích Phương trình hàm và giải tích Trang 1 PHƯƠNG TRÌNH HÀM VÀ GIẢI TÍCH Phương trình hàm là một chuyên đề phong phú với nhiều phương pháp giải. Các yếu tố giải tích là một công cụ rất mạnh để giải quyết một số bài toán phương trình hàm Trong đề tài nhỏ này xin giới thiệu một số phương pháp giải phương trình hàm dựa vào các yếu tố giải tích. A. PHƯƠNG TRÌNH HÀM VÀ GIỚI HẠN TÍNH LIÊN TỤC Với những bài toán dữ liệu đề bài cho tính liên tục của hàm số thì việc xây dựng dãy biến số hội tụ là công cụ rất mạnh vì ta có thể đưa giới hạn vào trong hay ra ngoài hàm số đó là một cách giải một số bài phương trình hàm Ví dụ 1 Tìm tất cả các hàm số f 0 1 0 1 thoả 1. f là đơn ánh 2. 2x f x 0 1 x 0 1 3. f 2 x f x x x 0 1 Giải Thay x bởi f x ta được f 2f x f f x f x Vì f là đơn ánh nên 2f x f f x x Thay x bởi f n x với f n x f 0 f 0 . f n lần Ta được 2 f n 1 x fn 2 x fn x fn 2 x fn 1 x fn 1 x fn x . f x x SVTH Nguyễn Gia Hưng Phương trình hàm và giải tích Trang 2 Ta có f n x n f x x x Ta cố định x Nếu f x gt x thì với n đủ lớn f n x 1 vô lý Nếu f x Phương trình hàm và giải tích Trang 3 1 Giả sử lim x n Thế thì 2 0 n 4 1 2 1 Vì f x liên tục nên lim f x n f lim x n f n n 2 1 Nhưng f x n 1 f x n2 f xn n N 4 1 1 f x0 f x1 . f xn f x0 0 2 2 1 II. x0 . 2 1 Xét dãy số sau x n 1 xn . 4 1 Dễ dàng chứng minh dãy số này hội tụ vì lim x n n 2 1 1 f liên tục nên lim f x n f và f x n 1 f x n2 f xn n 2 4 1 f xn f . 2 Vì thế f x là hàm hằng trên 0 và vì nó là hàm chẵn nên nó là hàm hằng trên R Ngược lại mọi hàm hằng đều thoả mãn yêu cầu đề bài. B. PHƯƠNG TRÌNH HÀM VÀ TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ Tính đơn điệu của hàm số là một công cụ mạnh để đánh giá hàm số nhờ đó ta có thể định khoảng giá trị hàm số chứng minh hàm số tồn tại hoặc không tồn tại. Ví dụ 1 SVTH Nguyễn Gia Hưng Phương trình hàm và giải tích Trang 4 Cho R là tập hợp các số thực dương. Tìm hàm số f R R thoả 2 mãn f x f x y f x y x y R Giải Giả sử tồn tại hàm f x thoả mãn đề bài. Từ đẳng thức đề bài ta có yf