tailieunhanh - Bài giảng Giải tích 2 - Chương 4: Tích phân mặt

Bài giảng "Giải tích 2 - Chương 4: Tích phân mặt" cung cấp cho người học các kiến thức: Tích phân mặt loại 1, tích phân mặt loại 2. Đây là một tài liệu hữu ích dành cho các bạn sinh viên ngành Toán học và những ai quan tâm dùng làm tài liệu học tập và nghiên cứu. | Bài giảng Giải tích 2 - Chương 4 Tích phân mặt CHƯƠNG IV TÍCH PHÂN MẶT 1. TÍCH PHÂN MẶT LOẠI 1 1. TÍCH PHÂN MẶT LOẠI 2 1. Tích phân mặt loại 1 Định nghĩa Cho hàm f x y z trên mặt S. Chia S thành n phần tùy ý không dẫm lên nhau. Gọi tên và diện tích của mỗi mặt đó là ΔSk k 1 2 . n . Trên mỗi mảnh đó ta lấy 1 điểm Mk tùy ý và lập tổng n Sn f Mk Sk k 1 Cho max dΔSk 0 dΔSk là đường kính của mảnh Sk nếu tổng trên dần đến 1 giới hạn hửu hạn thì ta gọi đó là tp mặt loại 1 của hàm f x y z trên mặt S kí hiệu là n f x y z ds lim f Mk Sk max d Sk 0 k 1 S 1. Tích phân mặt loại 1 Tính chất Diện tích mặt S được tính bởi S ds S f g ds fds gds S S S Nếu mặt S được chia thành 2 mặt không dẫm lên nhau là S1 và S2 thì fds fds fds S S1 S2 1. Tích phân mặt loại 1 Cách tính Tìm hình chiếu của S xuống 1 trong mặt phẳng Oxy Dxy Oyz Dyz hoặc Ozx Dzx Từ pt mặt S là F x y z 0 ta rút ra z theo x y z z x y x theo y z x x y z hoặc y theo x z y y x z Sau đó tính ds ds 1 zx 2 zy 2dxdy ds 1 xy 2 xz 2dydz ds 1 yz2 y x 2dzdx 1. Tích phân mặt loại 1 Cách tính Tìm h c của mặt S xuống mp Oxy tính z z x y từ pt mặt I f x y z x y 1 zx 2 zy 2dxdy Dxy Tìm h c của mặt S xuống mp Oyz tính x y z từ pt mặt 2 2 I f x y z y z 1 xy xz dydz Dyz Tìm h c của mặt S xuống mp Ozx tính y y z x từ pt mặt I f x y z x z 1 y x2 y z 2dzdx Dzx 1. Tích phân mặt loại 1 Ví dụ 1 Tính tích phân I1 trên mặt S là phần mặt nón z2 x2 y2 với 0 z 1 của hàm f x y z x y z Hình chiếu của S xuống mp z 0 là Dxy 0 x2 y2 1 x zx x2 y2 Pt mặt S z dương z x2 y2 y zy 2 2 x y Suy ra ds 2dxdy Vậy I1 x y z ds x y x2 y 2 2dxdy S Dxy 1. Tích phân mặt loại 1 Đổi tp sang tọa độ cực 2 1 I1 d cos sin r rdr 0 0 2 I1 3 1. Tích phân mặt loại 1 Ví dụ 2 Tính tích phân I2 của hàm f x y z x 2y 3z trên mặt S là mặt xung quanh tứ diện x 0 y 0 z 0 x 2y 3z 6 C Mặt S gồm 4 mặt nên tp I2 cũng được chia làm 4 tp Vì mặt x 0 nên x y x z 0 ds dydz chiếu xuống mp x 0 ta được Dyz ΔOBC B O I21 fds 2y 3z dydz A x 0 OBC 1. Tích phân mặt loại 1 C Tương tự tp trên 2 mặt tọa độ