tailieunhanh - Bài giảng Giải tích 2 - Chương 4: Chuỗi (Phần 2)

Phần 2 bài giảng "Giải tích 2 - Chương 4: Chuỗi" cung cấp cho người học các kiến thức về "Chuỗi lũy thừa" bao gồm: Chuỗi lũy thừa - Miền hội tụ, bán kính hội tụ, chuỗi Taylor - Maclaurint. | Bài giảng Giải tích 2 - Chương 4 Chuỗi Phần 2 2. Chuỗi lũy thừa Miền hội tụ Chuỗi lũy thừa là chuỗi có dạng n n å an x - x0 hay å an x a0 a1 a2 . là hằng số n 0 n 0 Số hạng tổng quát un x an x-x0 n 1 hoặc un x anxn 2 phụ thuộc vào n và biến x là 1 hàm lũy thừa theo x hoặc x-x0 . Ta có thể đặt X x-x0 và đưa dạng 1 về thành dạng 2 nên ta chỉ viết các kết quả sau đây với số hạng tổng quát dạng 2 2. Chuỗi lũy thừa Miền hội tụ n Miền HT của chuỗi lũy thừa å an x là tập D nếu n 1 n quot x x0 Î D chuỗi số å a x n 0 HT n 1 n Ví dụ Chuỗi å x n 0 Là chuỗi cấp số nhân nên HT khi và chỉ khi x 2. Chuỗi lũy thừa Miền hội tụ 1 Ví dụ Tìm MHT của chuỗi å 2n n 11 x 1 un x xác định với mọi x 2n 1 x Khi x 1 Cho n un ç ç 2 1 x 2n 2 n x è x ø ç Chuỗi HT vì x gt 1 Vậy MHT là - -1 U 1 2. Chuỗi lũy thừa Bán kính HT Miền HT n Tổng quát giả sử chuỗi lũy thừa å an x HT tại x x0 n 1 n tức là chuỗi số å an x0 HT. Theo đkccsht ta được n 1 n n a x lim n 0 0 Þ M gt 0 an x 0 lt M quot n n Biến đổi số hạng tổng quát của chuỗi n n n æ ö n ç x æx ö æx ö n an x an x 0 ç a x n çç lt M çç vn quot n çè x0 ø n 0 çè x0 ø çè x0 ø Nếu x 2. Chuỗi lũy thừa Bán kính HT Miền HT Định lý Abel n Nếu chuỗi lũy thừa å an x HT tại x0 0 thì nó HTTĐ tại n 1 mọi điểm x Î - x0 x0 n Hệ quả Nếu chuỗi å an x PK tại x1 thì nó PK với mọi x n 1 thỏa x gt x1 Bán kính hội tụ BKHT Số R gt 0 sao cho chuỗi å an x n HT với mọi x x R được gọi là BKHT của chuỗi 2. Chuỗi lũy thừa Bán kính HT Miền HT Cách tìm BKHT của chuỗi lũy thừa élim n a ên n 1 Đặt r êê a Thì BKHT là R lim n 1 r ên êë an Cách tìm MHT của chuỗi lũy thừa Sau khi tìm xong BKHT ta chỉ còn xét sự HT của chuỗi tại 2 điểm x R và x -R nữa là có kết luận 2. Chuỗi lũy thừa Bán kính HT Miền HT Ví dụ Tìm BKHT MHT của các chuỗi n sau n x 1. å nx 2. å n 2 n 1 n 1 2 .n 1. Với chuỗi lũy thừa này ta đang có an nn r lim n an lim n Þ R 0 n n BKHT R 0 tức là MHT chỉ gồm 1 điểm duy nhất 0 1 n 1 1 2. an n 2 Þ lim an lim n n 2 Þ R 2 2 .n n n 2 .n 2 1 Khi x 2 å là chuỗi số dương HT 2 n 1 n