tailieunhanh - Bài giảng Phương pháp tính - Chương 4: Nội suy và xấp xỉ hàm

Bài giảng “Phương pháp tính – Chương 4: Nội suy và xấp xỉ hàm” cung cấp cho người học các kiến thức: Đa thức nội suy Lagrange, đa thức nội suy Newton, Spline bậc 3, bài toán xấp xỉ thực nghiệm. | Bài giảng Phương pháp tính - Chương 4 Nội suy và xấp xỉ hàm Chương 4 NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM I. ĐẶT BÀI TOÁN Để tính giá trị của một hàm liên tục bất kỳ ta có thể xấp xỉ hàm bằng một đa thức tính giá trị của đa thức từ đó tính được giá trị gần đúng của hàm Xét hàm y f x cho dưới dạng bảng số x xo x1 x2 . xn y yo y1 y2 . yn Các giá trị xk k 0 1 . n được sắp theo thứ tự tăng dần gọi là các điểm nút nội suy Các giá trị yk f xk là các giá trị cho trước của hàm tại xk Bài toán xây dựng 1 đa thức pn x bậc n thoả điều kiện pn xk yk k 0 1 . n. Đa thức này gọi là đa thức nội suy của hàm f x . II. ĐA THỨC NỘI SUY LAGRANGE y f x và bảng số x xo x1 x2 . xn y yo y1 y2 . yn Ta xây dựng đa thức nội suy hàm f x trên a b x0 xn . Cho hàm Đặt Ta có Đa thức có bậc n và thỏa điều kiện Ln xk yk gọi là đa thức nội suy Lagrange của hàm f Ví dụ Cho hàm f và bảng số x 0 1 3 y 1 -1 2 Xây dựng đa thức nội suy Lagrange và tính gần đúng f 2 . Giải n 2 Đa thức nội suy Lagrange f 2 Ln 2 -2 3 Cách biểu diễn khác Để tính giá trị của Ln x ta lập bảng x x0 x1 . xn x0 x- x0 x0- x1 . x0- xn D0 x1 x1- x0 x- x1 . x1- xn D1 tích dòng . . . . xn xn- x0 xn- x1 . x- xn Dn ω x tích đường chéo Ví dụ Cho hàm f và bảng số x -9 -7 -4 y -1 -4 -9 Tính gần đúng f -6 Ta lập bảng tại x -6 x -6 -9 -7 -4 -9 3 -2 -5 30 -7 2 1 -3 -6 -4 -30 5 3 -2 -6 Vậy f -6 L2 -6 -6 -1 30 4 6 9 30 Ví dụ Cho hàm f và bảng số x 0 1 3 4 y 1 1 2 -1 Tính gần đúng f 2 Ta lập bảng tại x 2 x 2 0 1 3 4 0 2 -1 -3 -4 -24 1 1 1 -2 -3 6 3 6 3 2 -1 -1 4 -24 4 3 1 -2 4 Vậy f 2 Ln 2 4 -1 24 1 6 1 3 1 24 2 TH đặc biệt các điểm nút cách đều với bước h xk 1 xk Đặt Ví dụ Cho hàm f và bảng số x y 15 18 19 24 Tính gần đúng f giải Ta có n 3 x h q Vậy f Công thức đánh giá sai số Giả sử hàm f x có đạo hàm đến cấp n 1 liên tục trên a b . Đặt Ta có công thức sai số Ví dụ Cho hàm f x 2x trên đoạn 0 1 . Đánh giá sai số khi tính gần đúng giá trị hàm tại điểm x sử dụng đa thức nội suy Lagrange khi .