tailieunhanh - Tiếp nối câu chuyện về bất đẳng thức Nesbiit

Tháng 3 năm 1903, trên tạp chí đã đề xuất một bài toán như sau. | TIẾP NÓI CÂU CHUYÊN VÈ BẤT ĐẲNG THỨC NESBITT Cao Minh Quang GV TIIPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm Vĩnh Long E-mail ktl3quang @ SJS s s SJS 1. Lòi giới thiệu Tháng 3 năm 1903 trên tạp chí Educational Times A. M. Nesbitt đã đề xuất bài toán sau Cho a b c là các số thực dương. Chứng minh rằng -Ị- -Ạ- - _ 1 . b c c 4- LI ũ 4- b 2 Đẳng thức xảy ra khi và chi khi a b c . Ngoài ra ta cũng nhận thấy rằng 1 ở dạng đồng bậc nên để chứng minh 1 với điều kiện a b c là các số thực dương ta còn có thể giả sử a b c 1 tức là chứng minh bất đẳng thức -4- -Ị- -Ị- 2 . y z z -Y -r y 2 trong đó X y z là các số thực dương có tổng bằng 1. Bài toán quả thật rất đơn giản và đẹp đẽ nó đã được rất nhiều người quan tâm và tìm các cách giải. Trên Tạp chí Toán Học Tuổi Trẻ số 358 tháng 4 - 2007 tác giả Vũ Đình Hòa đã giới thiệu cho bạn đọc một dạng tổng quát của bất đẳng thức 1 đó chính là bất đẳng thức Shapiro được phát biểu dưới dạng Với mọi XI Q xì . o í 1 2 . ỉ x thì ta có n - 2 Đẳng thức xảy ra khi và chi khi x2 . . Trong bài viết nhỏ này tôi xin tổng hợp các lời giải cho bất đẳng thức 1 và một số kết quả khác được phát triển từ 1 trong thời gian gần đây. 2. Một số lòi giải cho bất đẳng thức Nesbitt Thật sự bất đẳng thức 1 có rất nhiều cách giải ngoài một số cách rất đơn giản còn có những cách phức tạp đôi khi phải sử dụng đến các bất đẳng thức cổ điển Jensen Karamata định lí dồn biến . . Nhóm các lời giải sử dụng phép biến đoi tương đương phoi họp với các bất đắng thức thông dụng. Lời giải 1. Cộng 3 vào hai vế của bất đẳng thức 1 ta có l oi 1 1 í 1 í - lì - o ữ h h c c ữ lí -----1---- i 9. I 4- c ị . ỉ iỉ J 4 b 2 It 4 b í c 4 Lĩ ỉ Dễ thấy bất đẳng thức trên đúng vì ta luôn có x y z 9 y z 0 . Lời giải 2. Bất đẳng thức 1 tương đương với bất đẳng thức ỵ - a 1 ì í 1 ì í c 1 ì 0 b -ị- c 2 L1 c 2 J L1 l b 2 J Lời giải 3. Sử dụng đẳng thức a b b c c ữ ab a b bc b f ữ 2abc 1 4 2 ữ ữ b a c b b ữ b c c c a c 3 ữ b b f f -v 2 ư b 4- c I ữb cl 4 b I be b I cI I Cữ c 4 . Bất đẳng .