tailieunhanh - Bất đẳng thức (BDT) Erdos-Mordell

Bất đẳng thức (BDT) Erdos-Mordell là một BDT khá nổi tiếng trong tam giác, được nhà toán học Paul Erdos đề xuất năm 1935 và lời giải đầu tiên đưa ra là của Louis Mordell sử dụng định lí hàm số Cos. Trong bài viết này tôi xin được giới thiệu với các bạn một số lời giải do tôi tìm ra hoặc sưu tầm được . Đây chắc chắn không phải là tất cả các lời giải cho BDT này, rất mong nhận được sự trao đổi của các bạn. Các bạn có thể gửi lời giải vào hòm. | Nguyễn Mạnh Dũng High School for Gifted Students HUS Việt Nam Lời nói đầu Bất đẳng thức BDT Erdos-Mordell là một BDT khá nổi tiếng trong tam giác được nhà toán học Paul Erdos đề xuất năm 1935 và lời giải đầu tiên đưa ra là của Louis Mordell sử dụng định lí hàm số Cos. Trong bài viết này tôi xin được giới thiệu với các bạn một số lời giải do tôi tìm ra hoặc sưu tầm được . Đây chắc chắn không phải là tất cả các lời giải cho BDT này rất mong nhận được sự trao đổi của các bạn. Các bạn có thể gửi lời giải vào hòm thư nguyendunghus@ Hoặc post trực tiếp vào topic http forum t 4913 Rất mong nhận được sự quan tâm của các bạn - 1 - Nguyễn Mạnh Dũng High School for Gifted Students HUS Việt Nam Bất đẳng thức Erdos-Mordell Cho tam giác ABC bất kì có 3 cạnh là a b c và điểm M nằm trong tam giác. Đặt AM x BM y CM z và từ M kẻ các đường vuông góc MD ME MF xuống các cạnh BC CA AB có độ dài lần lượt là p q r. Khi đó ta có x y z 2 p q r Dấu đẳng thức xảy ra khi DABC đều. - 2 - Nguyễn Mạnh Dũng High School for Gifted Students HUS Việt Nam Hướng chứng minh thứ nhât . c c a a b Ta sẽ chứng minh x r q y Pb b z q p Sau đó áp dụng BDT Cô-si cho 2 số dương V- c a b x y z r è b a 0 2r 2 p q q Trong đó kí hiệu chỉ tổng hoán vị. Ta cùng theo dõi các lời giải sau Ta có 2S ABC aha ap bq cr . Do ha x p nên a x p aha. b c ax bq cr x q r . Tương tự ta có đpcm. a a Lời giải 2. Từ B và C kẻ các đường vuông góc BB CC tới đường thẳng AM. Dễ thấy DAFM DAB B và DAEM DAC1C nên r x và q CC c x qb b Suy ra x BB CC - 3