tailieunhanh - Sáng kiến kinh nghiệm: Sử dụng hình học để giải một vài bài toán đại số

Để giải một bài toán thông thường ta hay gắn bài toán đó vào một dạng bài tập nào đó, sau đó sử dụng các kiến thức đã biết về dạng toán đó. Nếu bài toán đó ở phân môn đại số thì ta thường nghĩ đến các phương pháp của đại số để giải nó, từ đó, ta có thể giải bài toán. Song nếu để ý kỹ hơn thì một số bài toán đại số có thể giải bằng phương pháp hình học và cách giải của nó rất trong sáng. | Sáng kiến kinh nghiệm Sử dụng hình học để giải một vài bài toán đại số Chuyên đề Đại số trong hình học Đào chí Thanh CVP SỬ DỤNG HÌNH HỌC ĐỂ GIẢI MỘT VÀI BÀI TOÁN ĐẠI SỐ Để giải một bài toán thông thường ta hay gắn bài toán đó vào một dạng bài tập nào đó sau đó sử dụng các kiến thức đã biết về dạng toán bài toán đó ở phân môn đại số thì ta thường nghĩ đến các phương pháp của đai số để giải nó Từ đó ta có thể giải bài toán .Song nếu để ý kỹ hơn thì một số bài toán đại số có thể giải bằng phương pháp hình học và cách giải của nó rất trong sáng .Để làm rõ thêm vấn đề này tôi có một vài ví dụ sau. phương trình Ví dụ 1 Tìm ba số dương x y z thoã mãn x 2 xy y 2 4 y zy z 9 2 2 z2 xz x 2 36 Nhìn vào biểu thức ở vế trái ta thấy nó giống công A thức cô sin trong tam tam giác ABC Xét điểm O ở trong ABC sao cho x OA gt 0 . y OB gt 0 z OC gt 0 góc giữa OA OB 1200. OC OB 1200 x OA OC 1200 như hình vẽ O là điêm Tolicelli Theo ĐL cosin Ta có AC2 x2 z2 xz 36 hay AC 6 AB2 x2 y2 xy 4 hay AB 2 BC2 y2 z2 yz 9 hay BC 3 O z Nhưng AC gt AB BC nên không tồn tại x y z dương y thoả mãn ĐK bài toán . C Ví dụ 2 Giải hệ phương trình sau B 3xy 10y 3 x 2 2 y 4 2 x 5 2 y 8 2 5 Xét các điểm A 2 4 B 5 8 M x y thì MA x 2 2 y 4 2 MB x 5 2 y 8 2 Rõ ràng với ba điểm A B M tuỳ ý ta có MA MB AB 5 x 2 y 8 Dầu bằng khi 4x 3y 4 0 x 5 y 4 4x 3y 4 0 Vậy ta có hệ giải hệ này ta có nghiệm của hệ x 3 5 y 6 3xy 10y 3 Ví dụ 3 AN NINH 1999 Giải hệ phương trình x2 x y 1 x y2 x y 1 y 18 x2 x y 1 x y2 x y 1 y 2 x y 8 Giải Ta có hệ tương dương với x2 9 y2 9 10 Chuyên đề Đại số trong hình học Đào chí Thanh CVP r r r r xét véc tơ a x 3 b y 3 khi đó a b x y 6 r r r r mà a b a b x 2 9 y 2 9 10 dấu bằng xảy ra khi x y 4 Vậy hệ có nghiệm 4 4 Ví dụ 4 Olimpic 30 4 2000 Cho x y z dương thoả mãn 3x 2 3xy y 2 75 y 3z 63 2 2 Tìm giá trị S xy 2yz 3zx z2 xz x 2 48 Xét các OAB OBC OCA có OA z 3 OB y OC x 3 góc AOB 900 BOC 1500 COA 1200 thì ABC có AB 3 7 BC 5 3 AC 4 3 . Lại có S OAB S OAC S OCB S CAB Nên S xy .