tailieunhanh - PHƯƠNG TRÌNH HÀM TRÊN R, Q, N

Trong các kì thi học sinh giỏi thường có bài toán giải phương trình hàm ,trong đó có một số không nhỏ các bài qui về xác định tính cộng,nhân của hàm số. Chuyên đề này kai thác các tính chất của hàm cộng tính, nhân tính để giải các phương trình hàm trong các kì thi HSG trong nước và nước ngoài | PHƯƠNG TRÌNH HÀM TRÊN R, Q, N PHƯƠNG TRÌNH HÀM TRÊN R, Q, N (FUNCTION EQUATION) Trong các kì thi học sinh giỏi thường có bài toán giải phương trình hàm ,trong đó có một số không nhỏ các bài qui về xác định tính cộng,nhân của hàm số. Chuyên đề này kai thác các tính chất của hàm cộng tính, nhân tính để giải các PTH trong các kì thi HSG trong nước và nước ngoài BT1 : Cho hàm f : R → R thoả mãn f(x + y) = f(x) + f(y) với ∀ x, y ∈ R (f được gọi là hàm cộng tính trên R) và không phải là hàm hằng .Chứng minh các mệnh đề sau tương đương a) f(x) liên tục tại x0 b) f (x) = ax ( a ≠ 0) c) f đơn điệu trên (c; d) d) f giới nội trên (c; d) Giải: a) ⇒ b) Ta chứng minh f liên tục trên R .Với x1 bất kì ,lấy dãy (xn) hội tụ tới x1 Cho n → +∞ : xn - x1 + x0 → x0 , do f liên tục tại x0 nên lim f(xn - x1 + x0) = lim [f(xn) - f(x1) + f(x0)] n→ + ∞ n→ + ∞ lim = n→+ ∞ f(xn) - f(x1) + f(x0) = f(x0) lim ⇒n→+ ∞ f(xn) = f(x1) Vậy f liên tục trên R Vì f cộng tính trên R nên f(x) = ax (1) với ∀ x ∈ Q, a ∈ R* (Bạn đọc hãy chứng minh TC nầy) Với x bất kì, lấy dãy (yn) ⊂ Q hội tụ tới có: lim f(yn) = lim (ayn) = ax (theo (1)) n→ + ∞ n→ + ∞ lim f(yn) = f(x) (do f liên tục trên R) n→ + ∞ ⇒f(x) = ax b) ⇒ c) và c) ⇒ d) là đương chứng minh d) ⇒ a) Ta chỉ cần CM cho c > 0 Ta có m < f(x) < M ⇒ m < f( x ) < M (n ∈ N* , x ∈ (c; d) ) n n m m M x Cho n → +∞ : → 0, → 0, y = → 0+ n m n ⇒ lim f(y) = 0 = f(0) ⇒ f liên tục bên phải tại 0 y→0+ Do f làhàm lẽ (Bạn đọc hãy chứng minh TC nầy) ⇒ f liên tục bên trái tại 0 ⇒ f liên tục tại tại x = 0 . Chứng minh tương tự như a ta có f liên tục trên R Nếu f là hàm hằng ta dễ dàng CM được f(x) ≡ 0 BT2 : Tìm hàm f : R → R thoả mãn f(xy) = f(x)f(y) với ∀ x, y ∈ R (f được gọi là hàm nhân tính trên R ) và liên tục tại x0 > 0 HD : Ta có : f(0) = 0 hoặc f(0) = 1; f(1) = 0 hoặc f(1) = 1 a) f(1) = 0 : f(x) ≡ 0 (nhận) b) f(1) = f(0) = 1 f(x) = f(x).f(1) = f(x)f(0) = .

TỪ KHÓA LIÊN QUAN
TÀI LIỆU MỚI ĐĂNG
34    199    1    29-03-2024
15    176    0    29-03-2024
7    119    0    29-03-2024
8    78    0    29-03-2024
crossorigin="anonymous">
Đã phát hiện trình chặn quảng cáo AdBlock
Trang web này phụ thuộc vào doanh thu từ số lần hiển thị quảng cáo để tồn tại. Vui lòng tắt trình chặn quảng cáo của bạn hoặc tạm dừng tính năng chặn quảng cáo cho trang web này.