tailieunhanh - Bài giảng Giải tích 2: Cực trị hàm nhiều biến - Trần Ngọc Diễm (Phần 2)

Phần 2 bài giảng "Giải tích 2 - Chương 5: Chuỗi số và chuỗi lũy thừa" cung cấp cho người học các kiến thức về: Cực trị có điều kiện, giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trên tập compact. nội dung chi tiết. | Bài giảng Giải tích 2: Cực trị hàm nhiều biến - Trần Ngọc Diễm (Phần 2) CỰC TRỊ HÀM NHIỀU BIẾN CỰC TRỊ CÓ ĐIỀU KIỆN Xét 2 bài toán: Bài 1: Tìm cực trị z 1 x2 y 2 2 2 z 1 x y Cực đại đạt tại (0,0), z=1 Bài 2: Tìm cực trị z 1 x 2 y 2 Thỏa điều kiện x + y – 1 = 0 2 2 z 1 x y Bài 2: Tìm cực trị z 1 x 2 y 2 Thỏa điều kiện x + y – 1 = 0 2 2 z 1 x y z 1/ 2 x+y–1=0 Cực đại đạt tại (1/2, 1/2), Định nghĩa: Hàm số z = f(x, y) thỏa điều kiện (x, y) = 0 đạt cực đại tại M0 nếu tồn tại 1 lân cận V của M0 sao cho f(M) f(M0), M V và (M) = 0 Tương tự cho định nghĩa cực tiểu có điều kiện. Điều kiện cần của cực trị có điều kiện Giả sử f, khả vi trong lân cận của M0(x0, y0) và 2 2 x (M0 ) y (M0 ) 0, Nếu f đạt cực trị tại M0 với điều kiện = 0 thì tồn tại R sao cho fx (M0 ) x (M0 ) 0 ( ) fy (M0 ) y (M0 ) 0 (M0 ) 0 : nhân tử Lagrange fx (M0 ) x (M0 ) 0 ( ) fy (M0 ) y (M0 ) 0 (M0 ) 0 thỏa hệ ( ) gọi là điểm dừng trong bài toán cực trị có điều kiện, cũng gọi là điểm dừng của hàm Lagrange L(x,y) = f(x, y) + (x, y) 2. d (M0) = 0 ( dx và dy liên kết với nhau theo hệ thức này) Điều kiện đủ của cực trị có điều kiện Giả sử f, có các đhr đến cấp 2 liên tục trong lân cận của M0(x0, y0) và M0 là điểm dừng của L(x,y), 2 2 2 d L(M0 ) Lxx (M0 )dx 2Lxy (M0 )dxdy Lyy (M0 )dy d2L(M0) xác định dương thì f đạt cực tiểu có điều kiện tại M0. d2L(M0) xác định âm thì f đạt cực đại có điều kiện tại M0. Các bước tìm cực trị có điều kiện hàm 2 biến Loại 1: điều kiện bậc nhất theo x, y( tìm trên đường thẳng) (x, y) = ax + by + c = 0 đưa về cực trị hàm 1 biến khi thay y theo x trong f. Loại 2:(tổng quát) dùng pp nhân tử Lagrange L(x,y) = f(x,y) + (x,y) Lx (M0 ) 0 B1: tìm điểm dừng của L(x, y) : Ly (M0 ) 0 (M0 ) 0 B2: xét dấu d2L tại .