tailieunhanh - Tóm tắt luận văn Thạc sĩ Đại số và Lý thuyết số: Về phức Koszul

Nội dung của luận văn trình bày đại số Tenxơ, đại số đối xứng, đại số ngoài; phức Koszul, cách xây dựng phức Koszul theo tích ngoài, cách xây dựng phức Koszul bằng cách lấy Tenxơ các phức; ứng dụng của phức Koszul, phức Koszul và dãy giải tự do của đại số đối xứng | Tóm tắt luận văn Thạc sĩ Đại số và Lý thuyết số: Về phức Koszul ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN KHOA TOÁN-CƠ-TIN HỌC NGUYỄN THỊ QUỲNH VỀ PHỨC KOSZUL TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số Giảng viên hướng dẫn: TS. Nguyễn Phụ Hoàng Lân HÀ NỘI- 2015 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Các phức và đồng điều của phức Các phức Định nghĩa . Một dãy các môđun và các đồng cấu ∂n+1 n ∂ M• : · · · → Mn+1 −−→ Mn −→ Mn−1 → . . . () được gọi là một phức nếu ∂n ∂n+1 = 0, ∀n ∈ Z. Tương tự, một dãy các môđun và các đồng cấu ∂ n−1 ∂n M • = · · · → M n−1 −−→ M n −→ M n+1 → . . . , () được gọi là một đối phức nếu ∂ n ∂ n−1 = 0, ∀n ∈ Z. Một phức được gọi là khớp ở vị trí thứ n nếu Ker ∂n = Im ∂n+1 . Một phức được gọi là khớp nếu nó khớp tại mọi vị trí. Lưu ý rằng, một phức (khớp) cũng có thể hữu hạn, đó là khi dãy () hữu hạn. Định nghĩa . Một dãy khớp với 5 môđun có dạng 0 00 0→M →M →M →0 được gọi là một dãy khớp ngắn. n ∂n+1 ∂ Nhận xét . Mọi dãy khớp dài · · · → Mn+1 −−→ Mn − → Mn−1 → . . . đều có thể phân tích thành các dãy khớp ngắn 0 −−→ ker ∂n −−→ Mn −−→ im ∂n −−→ 0 k 0 −−→ ker ∂n+1 −−→ Mn+1 −−→ im ∂n+1 −−→ 0 1 0 Định nghĩa . Một đồng cấu giữa hai phức M• và M• là một họ các 0 đồng cấu f• := {fn : Mn → Mn }n∈Z sao cho biểu đồ sau giao hoán ∂n+2 ∂n+1 ∂ ∂n−1 . . . −−→ Mn+1 −−→ Mn −−n→ Mn−1 −−→ . . . f f f y n+1 yn y n−1 0 0 0 0 ∂n+2 0 ∂n+1 0 ∂n 0 ∂n−1 . . . −−→ Mn+1 −−→ Mn −−→ Mn−1 −−→ . . . 0 tức là fn−1 ◦ ∂n = ∂n ◦ fn , ∀n. 0 Ta kí hiệu f• : M• → M• . Đồng điều của phức Định nghĩa . Môđun thương Hn (M• ) := ker ∂n /im ∂n+1 được gọi là môđun đồng điều thứ n của phức M• . Một cách tương tự, môđun thương H n (M • ) := ker ∂ n /im ∂ n−1 được gọi là môđun đối đồng điều thứ n của đối phức M • . 0 Mệnh đề . Cho một đồng cấu f• giữa hai phức M• và M• ∂n+1 ∂ . . . −−→ Mn+1 −−→ Mn −−n→ Mn−1 −−→ . . .