tailieunhanh - Vận dụng phương pháp LTE vào giải các bài toán số học

Tài liệu dựa trên một số nghiên cứu của các thành viên Amir Hossein và một số ví dụ được lấy từ các kì thi Olympic toán trên thế giới để giới thiệu về bộ đề và những ứng dụng đặc sắc của nó vào các bài toán lý thuyết số. | Chuyên đề 2 VẬN DỤNG PHƯƠNG PHÁP LTE VÀO GIẢI CÁC BÀI TOÁN SỐ HỌC Phạm Quang Toàn 1 Bổ đề về số mũ đúng Lifting The Exponent Lemma là một bổ đề rất hữu dụng trong việc giải các bài toán số học và rất được biết đến trong lịch sử Olympiad. Thực chất là nó được mở rộng ra từ bổ đề Hensel. Ta thường viết tắt tên của bổ đề là LTE tên Tiếng Việt thì có thể gọi là bổ đề về số mũ đúng. Bài viết này xin được giới thiệu với bạn đọc về bổ đề và những ứng dụng đặc sắc của nó vào các bài toán lý thuyết số. Bài viết chủ yếu dựa vào tài liệu của thành viên Amir Hossein bên trang về mặt lý thuyết thì mình giữ nguyên bản bài viết của Amir Hossein sang bài viết này và có kèm theo một số ví dụ được lấy từ các kì thi Olympic toán trên thế giới. Một số khái niệm ở đây thay vì kí hiệu a b nghĩa là a chia hết cho ờ ta sẽ kí hiệu b a. Và a ft sẽ được thay bằng b a. Định nghĩa 1. Cho p là số nguyên tố a là số nguyên và a là số tự nhiên. Ta có pa là lũy thừa đúng exact power của a và a là số mũ đúng exact exponent của p trong khai triển của a nếu pa a và pQ 1 ị a. Khi đó ta viết pa II a hay Vp a a. Ví dụ. Ta có us 5400 3 hay 53 II 5400 vì 5400 53 32 22. Sau đây là một số tính chất. Chứng minh tính chất này không khó xin dành cho bạn đọc. Tính chất 1. Cho a b c là các số nguyên. Ta có 1. Up aỏ Vp a Vp b 2. Vp an n Vp à 3. min up a Vp fe Vp a b Dấu đẳng thức xảy ra khi Vp à ft Vp ft . 4. Vp gcd a l l c min up a Vp b Vp c 5. Vp lcm a l l c max vp ữ Vp b Vp c Chú ý. Up o oo với mọi số nguyên tố p. xLớp 9C THCS Đặng Thai Mai Tp Vinh 17 18 Hai bổ đề Đầu tiên xin giới thiệu với bạn đọc hai bổ đề. Và hai bổ đề này sẽ giúp ta tìm cách chứng minh được các định lí khác của LTE. Bổ đề 1. Cho X y là hai số nguyên và cho n là số nguyên dương. Cho số nguyên tố p bất kì sao cho p x y và p X p ị y. Ta có Vp xn - yn Vp x - y . Chứng minh. Ta có p x y nên x71-1 xn 2y xyn 2 y71-1 nxn Ỵ 0 0 mod p Mà xn yn x y xn-1 xn 2y H-----1- xyn 2 ỉ 1-1 nên ta suy ra điều phải chứng minh. Bổ đề 2. Cho X y là .