tailieunhanh - Ứng dụng số mũ lớn nhất của thừa số nguyên tố trong các bài toán số học

Bài viết chứng minh bài toán cho p là một số nguyên tố lẻ ,số tự nhiên n và hai số nguyên dương phân biệt a và b . Gọi α và β lần lượt là số mũ lớn nhất của p trong a−b và n. Thì số mũ lớn nhất của p trong an−bn là pα+β. Kí hiệu số mũ lớn nhất của p trong m là vp(m) hoặc pα||m (với α là số mũ lớn nhất của p trong m). bài viết để nắm chi tiết hơn nội dung và các phương pháp lập luận giải bài toán nêu trên. | Ứng dụng số mũ lớn nhất của thừa số nguyên tố trong các bài toán số học Ứ NG D Ụ N G S Ố M ŨL Ớ N NH Ấ T CỦ A TH Ừ A S Ố NGUYÊN T Ố TRONG CÁC BÀI TOÁN S Ố H Ọ C Lê Tr ần Nh ạc Long - THPT Chuyên Lê Quý Đ ôn- Đ à Nẵ ng ---------------------------------------- 17/1/2012 T ặ ng di ễ n đ à n VMF nhân d ịp sinh nh ậ t 8 nă m củ a di ễ n đ àn Cho p là một số nguyên tố lẻ ,số tự nhiên n và hai số nguyên dương phân biệt a và b . Gọi α và β lần lượt là số mũ lớn nhất của p trong a−b và n. Thì số mũ lớn nhất của p trong an−bn là pα+β Kí hiệu số mũ lớn nhất của p trong m là vp(m) hoặc pα||m (với α là số mũ lớn nhất của p trong m) (Trong bài viết này ta sẽ sử dụng kí hiệu pα||m) Chứng minh: Bài toán đưa về chứng minh rằng nếu a≡b(modp) và pβ||n thì pβ||an−bna−b. Giả sử n=pβk. Ta sẽ chứng minh bài toán quy nạp theo β Với trường hợp β=0 tức là n⋮̸p. Khi đó ta có: ak≡bk(modp) akbn−k−1≡bn−1(modp)⇒∑k=0n−1akbn−k−1≡∑k=0n−1bn−1(modp)≡nbn−1≢0(modp) Vì an−bna−b=∑k=0n−1an−k−1bk. Do đó an−bna−b⋮̸p Bây giờ giả sử bài toán đúng đến β ta sẽ chứng minh đúng đến β+1 tức là ta chỉ cần chứng minh p||anp−bnpan−bn. Thật vậy: Vì p|a−b nên a=b+xp suy ra ak≡bk+kbk−1xp(modp2) Ta được anp−bnpan−bn=∑k=0p−1an(p−k−1)bnk≡∑k=0p−1(bn(p−k−1)+n(p−k−1)xpbn(p−k−1)−1)bnk(mo dp2) ≡pbn(p−1)+∑k=0p−1n(p−k−1)xpbn(p−1)−1≡pbn(p−1)≡p(modp2) Vậy ta được p||anp−bnpan−bn. Do đó pβ+1||an−bna−−bnpan−bn=anp−bnpa−b Vậy bài toán được chứng minh Chú ý: Ta có một trường hợp đặc biệt sau đây với p=2 Cho a,b,c∈Z thỏa mãn 2α||a2−b22 và 2β||n thì 2α+β||an−bn Phần chứng minh kết quả này xin dành cho bạn đọc. Với trường hợp β=0 thì trường hợp đặc biệt này chỉ đúng khi 4|a−b Và sau đây chúng ta sẽ đến với một số bài toán ứng dụng tính chất này Bài toán 1: Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất thỏa mãn 22012|17n−1 Lời giải: Ta có:24||172−12. Giả sử 2α||n. Theo trường hợp đặc biệt của bài toán mở đầu ta được 24+α||17n−1. Suy ra α+4≥2012⇒α≥2008. Điều .

• Trung học phổ thông
• Ứng dụng số mũ lớn nhất
• Số mũ lớn nhất của thừa số nguyên tố
• Thừa số nguyên tố
• Các bài toán số học
• Tìm số nguyên dương
• Các dạng toán ứng dụng thực tế
• Bài tập toán ứng dụng thực tế
• Giá trị lớn nhất của hàm số
• Các bài toán ứng dụng hình đa diện
• Ứng dụng hàm số mũ Logarit
• Ứng dụng khổ mẫu MARC 21
• Khổ mẫu MARC 21
• Lưu giữ tài nguyên thông tin
• Trao đổi tài nguyên thông tin
• Tài nguyên thông tin
• Tìm hiểu tài nguyên thông tin
• Đề thi học sinh giỏi
• Đề thi học sinh giỏi lớp 9
• Ôn thi HSG lớp 9 môn Toán
• Đề thi học sinh giỏi năm 2023
• Đề thi HSG cấp tỉnh môn Toán lớp 9
• Giải hệ phương trình
• Tìm số nguyên
• Tìm quỹ tích trọng tâm
• Số thực dương
• Đề thi học sinh giỏi Toán
• Đề thi học sinh giỏi lớp 12
• Đề thi thử Đại học khối B môn Toán 2014
• Đề thi thử môn Toán 2014
• Đề thi thử đại học 2014
• Đề thi thử đại học môn Toán khối B
• Đề thi thử đại học khối B 2014
• Ôn tập toán 12
• Hình ngũ giác
• Diện tích tam giác
• Số nguyên dương
• Đề thi Toán quốc tế
• Tiền cổ Trung Hoa
• Tiền cổ ở Păng Tiêng
• Tiền cổ ở Tây Nguyên
• Thống kê các loại tiền cổ từ Păng Tiêng
• Thời gian xuất hiện của tiền cổ ở Păng Tiêng
• Đề kiểm tra giữa học kì 2 Toán 6
• Đề kiểm tra Toán 6
• Đề thi Toán 6
• Bài tập Toán 6
• Ôn luyện Toán 6
• Tìm các số nguyên dương
• Đề thi học sinh giỏi Toán lớp 12
• Đề học sinh giỏi cấp quốc gia Toán 12
• Bài tập Toán 12 nâng cao
• Ôn luyện Toán 12 nâng cao
• Bài tập tìm số nguyên dương
• Đề thi HSG lớp 9 môn Toán
• Đề thi học sinh giỏi năm 2021
• Đề thi HSG môn Toán lớp 9 cấp tỉnh
• Đề thi HSG môn Toán lớp 9 cấp trường
• Giá trị biểu thức
• Đề thi HSG lớp 12
• Đề thi học sinh giỏi môn Tin lớp 12
• Tìm số nguyên dương lớn nhất
• Đề thi học sinh giỏi Quốc gia
• Đề thi học sinh giỏi môn Toán
• Đề thi học sinh giỏi môn Toán năm 2021
• Đường tròn nội tiếp tam giác
• Đề thi học sinh giỏi môn Toán 9
• Đề thi học sinh giỏi môn Toán 9 cấp huyện
• Đề thi học sinh giỏi môn Toán 9 cấp quận
• Đề thi học sinh giỏi môn Toán 9 cấp thị xã
• Đề thi học sinh giỏi môn Toán 9 năm 2021
• Đề thi chọn học sinh giỏi
• Đề thi chọn học sinh giỏi cấp trường
• Đề thi học sinh giỏi Toán lớp 11
• Ôn thi HSG Toán lớp 11
• Giải phương trình
• Tìm số nguyên dương lẻ
• Đề thi học kì 1
• Đề thi học kì 1 lớp 9
• Đề thi học kì 1 môn Toán lớp 9
• Kiểm tra HK1 môn Toán lớp 9
• Đề thi học kì 1 lớp 8
• Kiểm tra học kì 1 môn Toán 8
• Đề thi HK1 môn Toán lớp 8
• Rút gọn biểu thức
• Kiểm tra học kì 1 môn Toán 9
• Đề thi HK1 môn Toán lớp 9