tailieunhanh - Tóm tắt Luận án tiến sĩ Toán học: Hàm đa điều hòa dưới trên tập giải tích trong Cn

Chúng tôi chọn nghiên cứu đề tài "Hàm đa điều hòa dưới trên tập giải tích trong Cn" vì một phần do những thách thức kể trên và cũng một phần do những ứng dụng vào các bài toán trung tâm của lý thuyết đa thế vị và giải tích phức như: Giải phương trình Monge-Ampère trên tập giải tích, đánh giá định lượng hội tụ của dãy các hàm đa điều hòa dưới trên tập giải tích,. | Tóm tắt Luận án tiến sĩ Toán học: Hàm đa điều hòa dưới trên tập giải tích trong Cn MỞ ĐẦU I. Lý do chọn đề tài Hàm đa điều hoà dưới và tập giải tích là các đối tượng quan trọng của giải tích phức nhiều biến. Tuy nhiên việc nghiên cứu đồng thời hai đối tượng này còn ít được đề cập đến. Một trong những nguyên nhân là do sự hiện diện những điểm kỳ dị trên tập giải tích làm cho quá trình trơn hóa (hay là xấp xỉ địa phương bằng tích chập) các hàm đa điều hòa dưới hay kỹ thuật lấy bao trên của họ những hàm đa điều hòa dưới không còn tác dụng. Đây chính là hai công cụ kỹ thuật được coi là tiêu chuẩn của lý thuyết đa thế vị phức trên các tập mở trong Cn . Chúng tôi chọn nghiên cứu đề tài "Hàm đa điều hòa dưới trên tập giải tích trong Cn " vì một phần do những thách thức kể trên và cũng một phần do những ứng dụng vào các bài toán trung tâm của lý thuyết đa thế vị và giải tích phức như: Giải phương trình Monge-Ampère trên tập giải tích, đánh giá định lượng hội tụ của dãy các hàm đa điều hòa dưới trên tập giải tích,. II. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu Để dễ theo dõi, ta bắt đầu bằng cách nhắc lại một số khái niệm cơ bản (xem [6]) về tập giải tích. Cho D là tập mở trong Cn . Một tập con đóng V của D được gọi là tập giải tích nếu với mọi z0 ∈ V ta tìm được lân cận mở U của z0 và một họ các hàm chỉnh hình {fi }i∈I xác định trên U sao cho V ∩ U = {z ∈ U : fi (z) = 0, ∀i ∈ I}. Trên một tập giải tích có hai loại điểm là điểm kỳ dị và điểm chính qui. Điểm a ∈ V được gọi là điểm chính qui nếu tồn tại một lân cận U của a để V ∩ U là một đa tạp con phức số chiều k của U . Nói cách khác, tồn tại các hàm chỉnh hình f1 , ., fn−k xác định trên U sao cho các điều kiện sau được thỏa mãn: a. V ∩ U = {z ∈ U : fi (z) = 0, ∀1 6 i 6 n − k}; ∂fi b. rank ( )1≤i≤n−k,1≤j≤n = n − k. ∂zj Trong trường hợp này chúng ta sẽ viết dima V = k . Tập các điểm chính qui của V được ký hiệu là Vr và Vs := V \ Vr là tập các điểm kỳ dị của V . Số chiều của tập