tailieunhanh - Một số phản ví dụ về các lớp không gian tôpô quan trọng

Một trong những mục đích quan trọng khi phân loại các không gian tôpô trong toán học đó là nhằm metric hóa các không gian tôpô. Khi đó dựa vào các tính chất gần gũi của không gian metric, người ta phân loại các không gian tôpô thành nhiều lớp không gian khác nhau theo thứ tự giảm dần theo quan hệ bao hàm bởi các điều kiện ngày càng gần gũi với không gian metric | TẠP CHÍ KHOA HỌC Khoa học Tự nhiên và Công nghệ, Số 8(3/2017) tr. 17 - 22 MỘT SỐ PHẢN VÍ DỤ VỀ CÁC LỚP KHÔNG GIAN TÔPÔ QUAN TRỌNG Đoàn Thị Chuyên3 Trường Đại học Tây Bắc Tóm tắt: Một trong những mục đích quan trọng khi phân loại các không gian tôpô trong toán học đó là nhằm metric hóa các không gian tôpô. Khi đó dựa vào các tính chất gần gũi của không gian metric, người ta phân loại các không gian tôpô thành nhiều lớp không gian khác nhau theo thứ tự giảm dần theo quan hệ bao hàm bởi các điều kiện ngày càng gần gũi với không gian metric. Trong bài báo này, chúng tôi sẽ xây dựng một số phản ví dụ đơn giản về các tôpô trên một số tập con đơn giản của , nhằm chỉ ra bao hàm thức thực sự cho các lớp không gian tôpô quan trọng đã biết. Từ khóa: Không gian metric, Không gian tôpô, Metric hóa tôpô, Không gian Frechet, Không gian Hausdorff, Không gian chính quy. 1. Một số khái niệm cần thiết Chúng tôi nhắc lại một số khái niệm cần thiết trong không gian tôpô dùng trong bài báo này. Định nghĩa 1. Cho một tập hợp X . Một họ các tập hợp con nào đó của X được gọi là một tôpô trên X nếu họ thỏa mãn các điều kiện sau: i) , X ; ii) Nếu G1 , G2 thì G1 G2 ; iii) Nếu Gi i I thì Gi . i I Nếu trên tập hợp X có một tôpô thì ta gọi X là một không gian tôpô, kí hiệu bởi cặp X , . Định nghĩa 2. Không gian tôpô X được gọi là T0 - không gian nếu với mỗi cặp điểm x, y khác nhau của không gian luôn tồn tại lân cận của một trong hai điểm không chứa điểm kia. Ví dụ 1. Dễ dàng kiểm tra tập X 0,1 cùng với họ X , 0 , là một không gian tôpô và là T0 không gian. Định nghĩa 3. (Không gian Frechet) Không gian tôpô X được gọi là T1 không gian nếu với mỗi cặp điểm x, y khác nhau của không gian X luôn tồn tại một lân cận của x không chứa y và một lân cận của y không chứa x. Ví dụ 2. Xét trên tập hợp X [0;1] ta xét họ X , , G ở đó G thu từ X bằng cách bỏ đi một số hữu hạn điểm hoặc một dãy số bất kì nằm trong X. Khi đó có thể thấy X là