tailieunhanh - Phép biến đổi Laplace và một số ứng dụng

Nội dung bài viết là trình bày phép biến đổi Laplace thuận (tìm ảnh của hàm) và phép biến đổi Laplace ngược (tìm hàm nguyên mẫu theo ảnh), phép nhân chập (tích chập) các hàm (ảnh của đạo hàm và tích phân hàm nguyên mẫu). Từ đó trình bày một số ứng dụng của phép biến đổi Laplace vào việc giải phương trình vi phân và tích phân. Mỗi phần đều có một số ví dụ minh họa. | TẠP CHÍ KHOA HỌC Khoa học Tự nhiên và Công nghệ, Số 10 (9/2017) tr 1 - 13 PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG Nguyễn Xuân Vui1 Trường Đại học Tây Bắc Tóm tắt: Nội dung bài báo là trình bày phép biến đổi Laplace thuận (tìm ảnh của hàm) và phép biến đổi Laplace ngược (tìm hàm nguyên mẫu theo ảnh); Phép nhân chập (tích chập) các hàm (ảnh của đạo hàm và tích phân hàm nguyên mẫu). Từ đó trình bày một số ứng dụng của phép biến đổi Laplace vào việc giải phương trình vi phân và tích phân. Mỗi phần đều có một số ví dụ minh họa. Từ khóa: Biến đổi Laplace, phương trình tích phân, phương trình vi phân, tích chập. 1. Mở đầu Biến đổi Laplace là biến đổi tích phân. Biến đổi Laplace cùng với biến đổi Fourier là hai biến đổi rất hữu ích và thường được sử dụng trong giải các bài toán vật lý. Qua biến đổi Laplace, các phép toán giải tích phức tạp như đạo hàm và tích phân được đơn giản hóa thành các phép tính đại số. Vì vậy, phép biến đổi Laplace đặc biệt hữu ích trong giải các phương trình vi phân, qua phép biến đổi Laplace các phương trình này trở thành các phương trình đại số đơn giản hơn. Tìm ra nghiệm các phương trình trên là các hàm ảnh và sau đó dùng biến đổi Laplace ngược để có lại hàm gốc. Năm 1744 , Euler đã đưa ra các tích phân: X ( x)e ax dx; X ( x) x a dx để giải các phương trình vi phân. Sau đó, Lagrange khi nghiên cứu cách tính tích phân của hàm mật độ xác suất, đã đưa ra biểu thức tích phân: X ( x)e ax a x dx. Những dạng tích phân này đã thu hút sự chú ý của Laplace vào năm 1782 khi ông tiếp tục công trình của Euler là sử dụng các phép tính tích phân để giải phương trình. Năm 1785 , vượt ra khỏi giới hạn giải các phương trình bằng phương pháp tích phân, Laplace đã bắt đầu đưa ra các biến đổi mà sau này đã trở nên rất phổ biến. Ông sử dụng tích phân: x s f (s)dx tương tự phép biến đổi Mellin, để biến đổi phương trình sai phân từ đó tìm ra cách giải cho phương trình biến đổi. Với cách tương tự như vậy, ông đã suy ra các tính chất của phép .