tailieunhanh - Tính chia hết trên tập các số Fibonacci

Dãy số Fibonacci được nhà Toán học Leonardo Pisano Fibonacci (1170-1240), người Ý, tìm ra vào năm 1202 là một dãy số có nhiều tính chất số học như: Tính chia hết, tính chính phương, Có rất nhiều nhà toán học đã quan tâm và nghiên cứu các tính chất của nó. Bài viết giới thiệu một trong số các tính chất của nó, đó là “Tính chia hết trên tập các số Fibonacci”. | Tính chia hết trên tập các số Fibonacci TẠP CHÍ KHOA HỌC, TRƢỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 24. 2015 TÍNH CHIA HẾT TRÊN TẬP CÁC SỐ FIBONACCI Lê Trần Trung1, Lƣơng Tú Hạnh2 TÓM TẮT Dãy số Fibonacci được nhà Toán học Leonardo Pisano Fibonacci(1170-1240), người Ý, tìm ra vào năm 1202 là một dãy số có nhiều tính chất số học như: tính chia hết, tính chính phương, Có rất nhiều nhà toán học đã quan tâm và nghiên cứu các tính chất của nó. Trong bài viết này, chúng tôi xin giới thiệu một trong số các tính chất của nó, đó là “Tính chia hết trên tập các số Fibonacci”. Từ khóa: Số Fibonacci 1. ĐẶT VẤN ĐỀ Dãy số Fibonacci đã xuất hiện từ rất lâu và là một trong những vẻ đẹp của toán học. Trƣớc hết, nó đẹp trong xuất xứ của bài toán dẫn đến việc hình thành của dãy số. Tiếp theo, nó đẹp vì dãy số này có rất nhiều tính chất. Cuối cùng, tất cả những ngƣời quan tâm nó đều có thể tìm ra cho mình những tính chất mới. Trong bài viết này, chúng tôi giới thiệu “Tính chia hết trên tập các số Fibonacci”. 2. NỘI DUNG . Định nghĩa Dãy số u1 , u2 , u3 ,., un ,. với u1 u2 1, un 1 un un 1 , với mọi n 2 , đƣợc gọi là dãy Fibonacci. Mỗi số hạng của dãy Fibonacci đƣợc gọi là một số Fibonacci. . Tính chia hết trên tập các số Fibonacci Vì mỗi số Fibonacci là một số tự nhiên, nên ta có thể phân tập các số Fibonacci theo tính chẵn, lẻ. Ta có mệnh đề sau: Mệnh đề 1. Với mọi n 1 , ta có u3n là số tự nhiên chẵn. Chứng minh Ta chứng minh bằng quy nạp theo n. Với n 1 , ta có u3 2 là số chẵn, suy ra mệnh đề đúng với n 1 . Giả sử mệnh đề đúng với n k , nghĩa là u3k là số tự nhiên chẵn. 1,2 ThS. Giảng viên Khoa Khoa học Tự nhiên, Trường Đại học Hồng Đức 21 TẠP CHÍ KHOA HỌC, TRƢỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 24. 2015 Với n k 1 , ta có u3( k 1) u3k 3 u3k 1 u3k 2 u3k 1 (u3k u3k 1 ) 2u3k 1 u3k Vì u3k là số tự nhiên chẵn, nên u3( k 1) là số tự nhiên chẵn, suy ra mệnh đề cũng đúng với n k