tailieunhanh - Giáo trình Toán cao cấp - Giải tích: Phần 2

Phần 2 giáo trình "Toán cao cấp - Giải tích" cung cấp cho người học các kiến thức: Tích phân bất định, tích phân xác định, hàm nhiều biến, phương trình vi phân, ứng dụng vào kinh tế. . | Chương VI : TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH I. Nguvẽn hàm - Tích phân bất đỉnh : 1. Đính nghĩa : Cho các hàm sô" / , F xác định trên [a,b]. F được gọi là một nguyên hàm của / trong (a,b) nếu Ff(x) = f(x ) , Vx E (a,b) F gọi là nguyên hàm của f trên [a,b] nếu : F'{x) = f ( x ) , Vx G (a,b) và F'(a+) = f(a),F'(b-) = f(b) Ví du : • cosx là nguyên hàm của sinx vì (—cosxỴ = sỉnx . —cos X + 7 cũng là nguyên hàm của sin X . • — 3 ----5 ,^ ----- c là 3 3 X / 3> những nguyên hàm của / ( X2 vì : 3 = - - C —- - 5 3J 3 J >3 , 2. Đinh lv : Nếu hàm số / liên tục trên [a, b] thì / có nguyên hàm trên [a, b]. 3. Đinh Iv : Giả sử F là nguyên hàm của / trong (a,b). Khi đó ta có : i) F + c (C là hằng số) cũng là một nguyên hàm của / trong (a,b) 119 ii) Nếu G cũng là một nguyên hàm của / trong (a,b) thì tồn tại hằng số c sao cho G(x) = F(x) + c Vx G (a,b) Chứng minh : i) (F(x) + C)’ = F(x) = f(x), Vx e (a, b) => F + c là một nguyên hàm của / trong (a,b) ii) [G(x) - F(x)]’ = G’(x) - F’(x) = f(x) - f(x) = 0, Vx e (a,b) =>3CeM: G(x) - F(x) = c, Vx G (a,b) => G(x) = F(x) + c, Vx e (a,b) Ghi chú : • Định lý trên vẫn đúng nếu thay (a,b) bằng [a,b] • Nếu / có một nguyên hàm thì / có vô số nguyên hàm và hai nguyên hàm bất kỳ của cùng một hàm thì sai khác nhau một hằng sô". 4. Đinh nghĩa : Tập hợp tất cả những nguyên hàm của / trên [a,b] được gọi là tích phân bất định của Ị trên [a, b], ký hiệu : J f(x)dx Nếu F là một nguyên hàm của / thì J* f(x)dx =F(z) + c chất cửa tích phân bất đinh : Cho / , g là các hàm số có nguyên hàm trong (a,b). Khi đó : i) A / /(x)dx = ( / /(x)dx) ii) d j* f(x)dx =f(x)á x 120 = f( x ) iii) J (f(x) ± g(x)) dx = J f(x)dx ± J g(x)dx iv) J*kf(x)dx = k J f ( x ) d x , k e l Hệ quả : j ị ^ k tft(x)dx = ¿ f c , J ^(a;)ác Í=1 Í=1 v) Nếu F’(x) = f(x) thì f F'(x)dx = J d F ( x ) = F ( x ) + c = J f(x)dx và Ị f ( y ) d y = F( y ) + c , / / ( í ) á í = F( t ) + C , . Chứng minh: Dành cho độc giả (suy ra từ tính chất đạo hàm). III. Các công thức