tailieunhanh - Giáo trình tính toán khoa học - Chương 7

Xét phương trình một biến có dạng: f(x) = 0 () Nếu hàm f(x) liên tục trong khoảng [a,b] và đổi dấu tại hai đầu mút của khoảng, | Chương 7 GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ TỐI ƯU HÓA GIẢI PHƯƠNG TRÌNH Giải phương trình một biến số Xét phương trình một biến có dạng f x 0 Nếu hàm f x liên tục trong khoảng a b và đổi dấu tại hai đầu mút của khoảng tức là f a fb 0 thì trong a b chứa ít nhất 1 nghiệm của phương trình . Khi đó a b được là một khoảng chứa nghiệm của phương trình. Nếu trong khoảng a b có đúng một nghiệm thì nó được gọi là khoảng phân ly nghiệm của phương trình. Khi giải phương trình theo các phương pháp số một điều rất quan trọng là phải tìm được các khoảng phân ly nghiệm. Có 2 phương pháp thường được sử dụng để tìm các khoảng phân ly nghiệm Phương pháp khảo sát hàm số dựa vào các tính chất sau Định lý Nếu trong khoảng a b hàm f x liên tục đơn điệu và hàm số đổi dấu tại hai đầu mút của khoảng thì a b là một khoảng phân ly nghiệm của phương trình f x 0. Như vậy khi xét bảng biến thiên hàm số khoảng phân li nghiệm là khoảng mà trong đó đạo hàm không đổi dấu và hàm số đổi dấu tại 2 đầu mút. Phương pháp đồ thị Hình Tìm khoảng phân ly nghiệm của phương trình 165 Bằng cách nào đó đưa phương trình f x 0 về dạng h x -g x 0 trong đó các hàm h x và g x dễ vẽ phác thảo đồ thị. Dựa vào dạng đồ thị và một số điểm đặc biệt ta xác định các khoảng phân li nghiệm. Thí dụ 1. Tìm các khoảng phân ly nghiệm của phương trình x3 - x - 1 0 Giải. Đặt y f x x3 - x - 1. Tính y 3x2 và giải phương trình y 0 được x V3 giá trị hàm tại một vài điểm đặc biệt f 1 13 - 1 - 1 -1 0 f 2 23 - 2 - 1 5 0. Vậy 1 2 là khoảng phân ly nghiệm của phương trình và phương trình chỉ có một nghiệm duy nhất. Nhược điểm của phương pháp khảo sát là cần phải tính đạo hàm cùng với nghiệm của nó. Điều này sẽ rất khó khăn khi giải phương trình siêu việt. Thí dụ 2. Tìm các khoảng phân ly nghiệm của phương trình lgx - -12 0. x Giải. Khoảng xác định của hàm số y f x là 0 x . Đặt h x lgx và g x -2- . Khi đó dạng đồ thị của chúng là 166 Hình Dáng điệu đồ thị của các hàm h x lgx và g x 2- x2 Từ đồ thị trong hình