tailieunhanh - Giáo trình tính toán khoa học - Chương 5

Nội suy là cơ sở của nhiều khái niệm trong giải tích số. Đó là công cụ để khôi phục các đặc trưng liên tục của một hàm số y=f(x) từ các tập hợp dữ liệu rời rạc do đo đạc hay quan sát được. Khi f(x) là một hàm phức tạp, khó tính toán và khảo sát thì cũng cần được xấp xỉ bởi một đa thức. Nội suy đơn giản nhất là nội suy bằng đa thức. | Chương 5 NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM NỘI SUY BẰNG ĐA THỨC Nội suy là cơ sở của nhiều khái niệm trong giải tích số. Đó là công cụ để khôi phục các đặc trưng liên tục của một hàm số y f x từ các tập hợp dữ liệu rời rạc do đo đạc hay quan sát được. Khi f x là một hàm phức tạp khó tính toán và khảo sát thì cũng cần được xấp xỉ bởi một đa thức. Nội suy đơn giản nhất là nội suy bằng đa thức. Lý do đa thức là một hàm đơn giản dễ tính đạo đạo hàm và nguyên hàm. Nội suy bằng đa thức là tìm một đa thức P x bậc n-1 qua n mốc nội suy xi với i 1 n thỏa mãn P xi f Xị . Nói cách khác có thể mô tả tập các điểm dữ liệu rời rạc của hàm y f x dưới dạng bảng x x1 x2 . xn y y1 y2 . yn Sau đó tính các hệ số của đa thức P x bậc n-1 thỏa mãn yi P Xi i 1 n Bây giời ta cần xây dựng công thức tính các hệ số của đa thức P x . Giả sử đa thức P x được viết dưới dạng tường minh P x p1xn-1 p2xn-2 . pn-1x pn Từ điều kiện để tìm các hệ sốpi của đa thức nội suy P x ta có thể giải hệ phương trình sau đây p1xl 1 p2xin 2 . pn-1x1 pn y1 p1x2 1 p2x2 2 . pn-1x1 pn y2 . . . . . . n-1 . . . n-2 . Ip1xn p2ý . pn-1xn pn yn 111 hay Cy-1 2 Xỵ . x 1 x 1 x2 1. x2 x2 . . . xr 1_ x2 x kxr . xr xn 1 c p 1 Pp .k A 1JkprJ c Ì y2 . . k yr J Ma trận hệ số của hệ phương trình chính là ma trận Vandermonde của vector x x1 x2 .xr . Do đó để giải hệ phương trình trên có thể sử dụng một câu lệnh đơn giản trong Matlab p varder x y Đa thức nội suy được tính theo công thức trên đơn giản nhưng khá cồng kềnh. Tính hệ số của đa thức nội suy dạng tường minh bằng giải hệ phương trình như trên sẽ mất nhiều công sức tính toán khi số nút nội suy lớn. Do đó ta cần phải nghiên cứu một số phương pháp tìm đa thức nội suy khác đơn giản hơn. Định lý Tính duy nhất của đa thức nội suy . Đa thức nội suy bậc r-1 thoả mãn là duy nhất. Chứng minh. Thật vậy. Giả sử có 2 đa thức nội suy bậc r-1 là P x và Q x cùng thoả mãn điều kiện . Nghĩa làyi P xị Q x với i 1 r. Xét đa thức R x P x -Q x . Rõ ràng là R xi P x -Q xi 0 i 1 r . .