tailieunhanh - Giáo trình tính toán khoa học - Chương 4

Cho một ma trận vuông cấp n. Nếu tồn tại một số và một vector x0 sao cho Ax=x thì được gọi là trị riêng của ma trận A và x được gọi là vectơ riêng của A ứng với trị riêng . Có nhiều bài toán ứng dụng trong cơ học và vật lí được qui dẫn về việc tìm trị riêng và vector riêng của ma trận. Trong các bài toán tìm trị riêng và vectơ riêng của ma trận người ta chia ra làm 2 loại: - Bài toán nhỏ: tìm các trị riêng có. | Chương 4 TÍNH TRỊ RIÊNG VÀ VECTOR RIÊNG CỦA MA TRẬN MỞ ĐẦU Cho một ma trận vuông cấp n. Nếu tồn tại một số X và một vector x 0 sao cho Ax Xx thì X được gọi là trị riêng của ma trận A và x được gọi là vectơ riêng của A ứng với trị riêng X. Có nhiều bài toán ứng dụng trong cơ học và vật lí được qui dẫn về việc tìm trị riêng và vector riêng của ma trận. Trong các bài toán tìm trị riêng và vectơ riêng của ma trận người ta chia ra làm 2 loại - Bài toán nhỏ tìm các trị riêng có modul lớn nhất và nhỏ nhất của ma trận và các vector riêng tương ứng. Bài toán này đến nay đã giải được cho ma trận có cỡ n 0 106 . - Bài toán lớn tìm tất cả các trị riêng và vector riêng của một ma trận. Bài toán này đến nay đã giải được cho ma trận có cỡ n 0 102 . Giải bài toán tìm trị riêng và vector riêng theo phương pháp đại số - Đầu tiên phải giải phương trình đặc trưng của ma trận A det XE-A 0 để tìm các trị riêng X. - Sau đó thế X vào hệ phương trình thuần nhất Ax Xx hay XE-A x 0 để tìm vector riêng tương ứng. Chú ý rằng đa thức đặc trưng của ma trận là đa thức bậc cao bằng cấp của ma trận A đối với X. Mặt khác do hệ phương trình thuần nhất XE-A x 0 có ma trận hệ số suy biến và do đó tập nghiệm của hệ là không gian con của Rn nên không thể giải bằng các phương pháp đã trình bày trong chương 3. Trong chương này chúng ta sẽ nghiên cứu các phương pháp - Phương pháp trực tiếp dùng các phép biến đổi tương đương đưa ma trận A về ma trận có cấu trúc đơn giản hơn để dễ dàng tìm đa thức đặc trưng và các vectơ riêng. 93 - Phương pháp lặp khuếch đại sự khác biệt về modul của các trị riêng bằng luỹ thừa bậc cao. CÁC PHƯƠNG PHÁP TRỰC TIẾP Phương pháp Krylov Giả sử ma trận A có đa thức đặc trưng là n-1 Pn w ln 2 Pn -k . k 0 Do pn A det kE-A nên theo định lí Haminton-Kelly ta có pn A Q. Xét dãy lặp vk 1 Avk với k 0 n -1 và vector ban đầu vQ 0 tuỳ ý của Rn ta có Ọ A Vq vn 2 Pn-kVk 0 k 0 Do đó các hệ sốPi chính là nghiệm của hệ phương trình . Việc giải hệ phương trình để tìm các .