tailieunhanh - Định lý nhúng cho không gian Sobolev có trọng và ứng dụng

Bài viết tập trung nghiên cứu sự tồn tại và tính trơn của nghiệm của phương trình elliptic suy biến và định lý nhúng cho không gian Sobolev có trọng và ứng dụng. | Phạm Thị Thủy và Đtg Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ 185(09): 83 - 87 ĐỊNH LÝ NHÚNG CHO KHÔNG GIAN SOBOLEV CÓ TRỌNG VÀ ỨNG DỤNG Phạm Thị Thủy1, Lê Thị Hồng Hạnh2 1 Trường Đại học Sư phạm - ĐH Thái Nguyên, 2Trường Đại học Hoa Lư TÓM TẮT Trong bài báo này, chúng tôi nghiên cứu sự tồn tại và tính trơn của nghiệm của phương trình elliptic suy biến 2u 2u 2 f x g u 0 trong , 2 y 2 x u 0 trên , ở đây là một miền bị chặn với biên trơn trong không gian ¡ 2 , f , g là các hàm cho trước. Kết quả của bài báo là sự tổng quát định lý nhúng trong N. M. Trí [N. M. Tri, Critical Sobolev exponent for hypoelliptic operators, Acta Mathematic Vietnamica, Vol. 23 (1998), no. 1, 83 – 94] và sự tồn tại nghiệm, tính trơn của nghiệm trong D. T. Luyen, N. M. Tri [D. T. Luyen and N. M. Tri, On boundary value problem for semilinear degenerate elliptic differential equations, AIP Conf. Proc. 1450, 13 (2012), 13 - 17]. Từ khóa: Bài toán biên, số mũ tới hạn, giá trị tới hạn, nghiệm không tầm thường, định lý nhúng Định lý nhúng Sobolev cho không gian có trọng Giả sử là miền giới nội trong ¡ 2 với biên trơn và 0 . Ta xét bài toán sau: * 2u 2u 2 2 f x 2 g u 0 trong , y x u 0 trên , trong đó g u C R , g 0 0, f x C 2 R . 1 2 1 u v f x , f x . y y L2 p Định nghĩa 2. Không gian S1,0 được gọi là S1p . Đặt G u g t dt và 1 , 2 là vector 0 pháp tuyến đơn vị ngoài trên . Định nghĩa 1. Ta ký hiệu S1p ,1 p là không gian các hàm u Lp thỏa mãn 2 Định nghĩa 3. Hàm u S1,0 được gọi là nghiệm yếu của Bài toán (1) nếu đẳng thức: u u 2 x x dxdy f x y y dxdy g u dxdy, thỏa mãn với mọi C0 . Định lý 1. S1p là không gian Banach, u u Lp , f x Lp . x y S12 là không gian Hilbert. Chuẩn trong S1p ,1 p , được định nghĩa như