tailieunhanh - Bổ đề Farkas và ứng dụng trong thị trường tài chính

Bổ đề Farkas đã hơn 100 tuổi. Đây là kết quả căn bản đối với hệ bất phương trình tuyến tính và là công cụ quan trọng trong lý thuyết tối ưu. Trên cơ sở ý tưởng của A. Dax và K. Svanberg [5], [10], chúng tôi giới thiệu cách chứng minh Bổ đề Farkas chỉ sử dụng công cụ của đại số tuyến tính sơ cấp mà không dùng tính chất của lý thuyết tập hợp hay tính chất của số thực và số hữu tỉ. Mục đích của bài báo này là giới thiệu áp dụng của Bổ đề Farkas để chứng minh một nguyên lý quan trọng trong thị trường tài chính: Thị trường tài chính là đầy đủ khi và chỉ khi tồn tại đúng một độ đo xác suất rủi ro trung tính. | Bổ đề Farkas và ứng dụng trong thị trường tài chính Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM Nguyễn Chí Long __ __ BỔ ĐỀ FARKAS VÀ ỨNG DỤNG TRONG THỊ TRƯỜNG TÀI CHÍNH NGUYỄN CHÍ LONG* TÓM TẮT Bổ đề Farkas đã hơn 100 tuổi. Đây là kết quả căn bản đối với hệ bất phương trình tuyến tính và là công cụ quan trọng trong lý thuyết tối ưu. Trên cơ sở ý tưởng của A. Dax và K. Svanberg [5], [10], chúng tôi giới thiệu cách chứng minh Bổ đề Farkas chỉ sử dụng công cụ của đại số tuyến tính sơ cấp mà không dùng tính chất của lý thuyết tập hợp hay tính chất của số thực và số hữu tỉ. Mục đích của bài báo này là giới thiệu áp dụng của Bổ đề Farkas để chứng minh một nguyên lý quan trọng trong thị trường tài chính: Thị trường tài chính là đầy đủ khi và chỉ khi tồn tại đúng một độ đo xác suất rủi ro trung tính. ABSTRACT Farkas lemma and its applications in financial market Farkas lemma has existed over a hundred years old. It is a fundamental result for the system of linear inequalities and an important tool in optimization theory. Based on A. Dax and ’s ideas [5], [10], we present the proof of the Farkas lemma by only uses the tools of elementary linear algebra, but neither any properties of the set theory nor any of the real and rational numbers. The article is about presenting the applications of Farkas lemma to prove an important principle in financial market: “The financial market is complete if and only if there exists exactly one neutral risk probability measure.” Bổ đề Farkas Cho ma trận m hàng, n cột A và b là véctơ m chiều, thì chỉ có đúng một trong 2 hệ (1) và (2) sau có nghiệm: Ax=b ; x 0 (1) T T b y Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM Số 27 năm 2011 __ __ Ta sẽ sử dụng kết quả của mệnh đề sau để chứng minh Bổ đề