tailieunhanh - Hàm Gamma P-adic và các đồng dư thức liên quan đến hệ số Newton

Bài viết nghiên cứu hàm Gamma P-adic và các đồng dư thức từ đó, suy ra được một số đồng dư thức trong số học liên quan đến hệ số Newton. bài viết để nắm chi tiết nội dung kiến thức. | Hàm Gamma P-adic và các đồng dư thức liên quan đến hệ số Newton Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Mỵ Vinh Quang và tgk _ HÀM GAMMA P-ADIC VÀ CÁC ĐỒNG DƯ THỨC LIÊN QUAN ĐẾN HỆ SỐ NEWTON MỴ VINH QUANG*, PHAN DUY NHẤT** TÓM TẮT Trong bài báo, chúng tôi chứng minh một đồng dư thức của hàm gamma p-adic dưới đây: ⎡ x( x 2 -1) r p 1⎤ r Γ p ( p x) ≡ Γ p ( p ) ⎢1 + r r x p ∑ 5r ⎥ (mod p ) (1) ⎢⎣ 3 k =1,( k , p ) =1 k ⎥ ⎦ trong đó: Γ p : Z p → C p là hàm gamma p-adic; p là số nguyên tố, p > 5 ; r ≥ 1 ; x∈Zp. Từ đó, chúng tôi suy ra được một số đồng dư thức trong số học liên quan đến hệ số Newton. Từ khóa: hàm gamma p-adic, đồng dư thức, hệ số Newton. ABSTRACT P-adic gamma function and congruences related to the Newton coefficients In the paper, we prove a congruence of the p-adic gamma function follows: ⎡ x( x 2 -1) r p 1⎤ r Γ p ( p x) ≡ Γ p ( p ) ⎢1 + r r x p ∑ 5r ⎥ (mod p ) (1) ⎢⎣ 3 k =1,( k , p ) =1 k ⎥ ⎦ Where: Γ p : Z p → C p is the p-adic gamma function; p is a prime, p > 5 ; r ≥ 1 ; x∈Zp. Since then, we deduce some congruences in arithmetic relating to the Newton coefficients. Keywords: p-adic gamma function, congruence, Newton coefficient. 1. Giới thiệu ⎛ 2 p − 1⎞ Đồng dư thức ⎜ ⎟ ≡ 1 (mod p) được chứng minh khá đơn giản. Năm 1819, ⎝ p −1 ⎠ Babbage đã chứng minh một đồng dư thức mạnh hơn, với số nguyên tố p ≥ 3 thì * PGS TS, Trường Đại học Sư phạm TPHCM ** ThS, Trường Đại học Sư phạm TPHCM 3 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Số 36 năm 2012 _ ⎛ 2p −1⎞ ⎛2p−1⎞ ⎜ ⎟ ≡ 1 (mod p 2 ). Năm 1862, Wolstenholme đã chứng minh ⎜ ⎟ ≡1 (mod p ) 3 ⎝ p −1 ⎠ ⎝ p −1 ⎠ ⎛ np + p − 1⎞ với mọi số nguyên tố p ≥ 5 . Năm 1899, J. Glaisher với kết quả ⎜ ⎟ ≡ 1 (mod ⎝ p −1 ⎠ ⎛ np ⎞ ⎛ n ⎞ p 3