tailieunhanh - Về một phương trình sóng phi tuyến liên kết với điều kiện biên không thuần nhất chứa tích chập

Bài viết nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán giá trị biên ban đầu cho phương trình sóng phi tuyến; phương pháp Faedo Galerkin, phương pháp compact yếu và các kỹ thuật của giải tích hàm phi tuyến được áp dụng. Kết quả thu được đã cải tiến kết quả về tính giải được và giải được duy nhất. | Về một phương trình sóng phi tuyến liên kết với điều kiện biên không thuần nhất chứa tích chập Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP. HCM Số 16 năm 2009 VỀ MỘT PHƯƠNG TRÌNH SÓNG PHI TUYẾN LIÊN KẾT VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN KHÔNG THUẦN NHẤT CHỨA TÍCH CHẬP Lê Nguyễn Kim Hằng*, Lê Thị Phương Ngọc†² 1. Mở đầu Xét bài toán giá trị biên ban đầu cho phương trình sóng phi tuyến sau đây: utt x x, t ux f u, ut F x, t , 0 x 1, 0 t T , (1) t 0, t u x 0, t g 0 t k0 t s u 0, s ds , (2) 0 t 1, t u x 1, t g1 t k1 t s u 1, s ds, (3) 0 u x, 0 u0 x , ut x,0 u1 x . (4) p 2 q 2 trong đó f u, ut K u u ut ut và p, q ≥ 2, K ≥ 0, λ > 0 là các hằng số cho trước; F, μ, g₀, g₁, k₀, k₁, u₀, u₁ là các hàm cho trước thỏa mãn một số điều kiện sẽ được chỉ rõ ở mục sau. Trước đây, An và Triều trong [1] đã nghiên cứu một trường hợp đặc biệt của bài toán (1), (4), với μ ≡ 1; u 0= u₁≡ 0 và f u, ut Ku ut , liên kết với điều kiện biên dưới đây: t u x 0, t g 0 t h0 u 0, t k0 t s u 0, s ds, (5) 0 u 1, t 0, (6) trong đó các hằng số K ≥ 0, λ ≥ 0 và các hàm số g, k được cho trước. Bài toán (1) , (4) – (6) là một mô hình toán học mô tả sự va chạm của một vật rắn và thanh đàn hồi nhớt tuyến tính tựa trên một nền cứng [1]. * ThS. – Trường ĐH Nông lâm Tp. HCM. † TS. – Trường CĐSP Nha Trang, Khánh Hoà 26 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP. HCM Lê Nguyễn Kim Hằng, Lê Thị Phương Ngọc Trong [2], các tác giả Bergounioux, Long và Dinh đã xét bài toán (1), (4) với f u , ut Ku ut và điều kiện biên: t u x 0, t g t hu 0, t k t s u 0, s ds , (7) 0 u x 1, t K1u 1, t 1ut 1, t 0, (8) ở đây K ≥ 0, λ ≥ 0, h ≥ 0, K₁≥ 0, λ₁> 0 là các hằng số cho trước và g, k là các hàm cho trước. p 2 q 2 Trường hợp f u, ut K u u ut ut , với K,