tailieunhanh - Đề thi chuyên Toán chuyên Quảng Nam năm học 2015 – 2016

"Đề thi chuyên Toán chuyên Quảng Nam năm học 2015 – 2016" là tài liệu bổ ích dành cho các bạn lớp 9 đang chuẩn bị bước vào kì thi tuyển sinh vào lớp 10. Tham khảo tài liệu giúp các em ôn tập và củng cố kiến thức Toán học, rèn luyện kỹ năng giải đề và biết cách sắp xếp thời gian hợp lý trong từng bài thi! | Sở giáo dục và đào tạo tỉnh Quảng Nam ĐỀ THI CHUYÊN TOÁN CHUYÊN QUẢNG NAM NĂM HỌC: 2015 – 2016 Thời gian: 150 phút Câu 1. (2 điểm) a) Cho biểu thức A x x 1 x 1 (với x ≠ 1; x ≥ 0). Rút gọn A, sau đó tính giá trị A – 1 khi x 1 x 1 x 2016 2 2015 b) Cho A 2 12015 22015 . n2015 với n là số nguyên dương. Chứng minh rằng A chia hết cho n(n + 1) Câu 2. (2 điểm) 6 4 7 3 2 2 2 0 x 9 x 11 x 8 x 12 x( x 4)(4 x y ) 6 b) Giải hệ phương trình: 2 x 8 x y 5 Câu 3. (1 điểm) Cho parabol (P): y = ax2 và đường thẳng (d): y = bx + c với a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác vuông trong đó a là độ dài cạnh huyền. Chứng minh rằng (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B có hoành độ lần lượt là x1 và x2 thỏa mãn x12 x22 2 Câu 4. (2 điểm) Cho tam giác nhọn ABC có hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H. Các tia phân giác các góc EHB, DHC cắt AB, AC lần lượt tại I và K. Qua I và K lần lượt vẽ các đường vuông góc với AB, AC chúng cắt nhau tại M. a) Chứng minh AI = AK. b) Giả sử tam giác nhọn ABC có hai đỉnh B, C cố định, đỉnh A di động . Chứng minh đường thẳng HM luôn đi qua một điểm cố định Câu 5. (2 điểm) Cho đường tròn (O) đường kính AB. Qua A và B lần lượt vẽ các tiếp tuyến d1 và d2 với (O). Từ điểm M bất kì trên (O) vẽ tiếp tuyến với đường tròn cắt d1 tại C và cắt d2 tại D. Đường tròn đường kính CD cắt đường tròn (O) tại E và F (E thuộc cung AM), gọi I là giao điểm của AD và BC. a) Chứng minh AB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính CD. b) Chứng minh MI vuông góc với AB và ba điểm E, I, F thẳng hàng. Câu 6. (1 điểm) Cho ba số thực x; y; z thỏa mãn: x2 + y2 + z2 ≤ 9 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = x + y + z – (xy + yz + zx) a) Giải phương trình sau: 2 ĐÁP ÁN – LỜI GIẢI CHI TIẾT Câu 1 a) Với x ≥ 0, x ≠ 1 ta có x 1 x 1 x 1 x x 1 A x 1 x 1 x 1 x 1 x x 1 x 1 x 3 x 1 2 x 1 x x 1 x 1 1 x 1 x 1 Ta có x 2016 2 2015 thỏa .