tailieunhanh - Phương trình vi tích phân Volterra loại Hyperbolic

Bài viết nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy dạng vi tích phân. Để nắm chi tiết nội dung nghiên cứu bài viết. | Phương trình vi tích phân Volterra loại Hyperbolic Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP Số 12 năm 2007 PHƯƠNG TRÌNH VI TÍCH PHÂN VOLTERRA LOẠI HYPERBOLIC Lê Hoàn Hoá*, Trần Trí Dũng†, Lê Thị Kim Anh‡ 1. Giới thiệu Trong bài báo này, chúng tôi sẽ nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy dạng vi tích phân sau đây : t u '(t ) A(t )u (t ) K (t , s , u ( s ))ds f (t ), t 0 0 (P) u (0) u 0 trong đó ( A(t ), D( A(t ))) t 0 sinh ra một họ tiến hoá liên tục mạnh U (t , s ) 0 s t trên không gian Banach (X , . ) và họ tiến hoá này thỏa mãn U (t , s ) Me (t s ) , (t , s ) : 0 s t ( M , là các hằng số xuất hiện trong định lí Hille - Yosida), A(t ) : D X , D X . Ta giả sử ánh xạ u K (t , s, u (s )) xác định từ D vào X. Bài toán (P) ở trên được rất nhiều các nhà Toán học quan tâm, nghiên cứu theo nhiều hướng khác nhau, chẳng hạn như các tác giả trong [1], [2], [3]. Những bài toán tích phân Volterra loại hyperbolic này xuất hiện tự nhiên khi chúng ta nghiên cứu sự đàn hồi của các chất rắn. Trong [1] các tác giả đã nghiên cứu bài toán (P) với A không phụ thuộc vào biến thời gian. Mục đích của chúng tôi là mở rộng một số kết quả của [1] khi xét A phụ thuộc vào biến thời gian. 2. Các kết quả chính Để chỉ ra sự tồn tại nghiệm cho bài toán (P), trước hết ta xét bài toán (P1) sau đây u '(t ) A(t )u (t ) f (t ), t 0 (P1) u (0) u0 * , Khoa Toán – Tin học, Trường ĐHSP † ThS, Khoa Toán – Tin học, Trường ĐHSP ‡ ThS, Đại học Tiền Giang. 65 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP Lê Hoàn Hoá, Trần Trí Dũng, Lê Thị Kim Anh Định lí sau đây là cơ sở cho chúng tôi nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất của nghiệm mạnh của bài toán (P). Định lí : Giả sử đối với bài toán (P1), ta có các giả thiết sau đây : (i) U (t , s ) 0 s t là họ nửa nhóm liên tục đều và ánh xạ t A(t ) liên tục. (ii) Đối với mỗi x X ta có : U t (t , s ) x A(t )U (t ,