tailieunhanh - Đề thi HSG lớp 9 cấp thành phố môn Toán năm học 2017 - 2018 - Sở GD&ĐT TP Hà Nội

Các bạn học sinh và quý thầy cô tham khảo "Đề thi HSG lớp 9 cấp thành phố môn Toán năm học 2017 - 2018 - Sở GD&ĐT TP Hà Nội" để hệ thống kiến thức học tập cũng như trau dồi kinh nghiệm ra đề thi có hiệu quả hơn. Chúc quý thầy cô và các em học sinh tìm được tài liệu hay! | SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI KÌ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP THÀNH PHỐ NĂM HỌC Môn thi:2017 Toán– 2018 ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phút Bài 1. ( điểm) a) Cho các số thực a,b ,c thỏa mãn a b c 2018 và 1 1 1 2017 b c c a a b 2018 . Tính giá trị của biểu thức a b c b c c a a b b) Tìm tất cả các cặp số nguyên x , y thỏa mãn phương trình P x y 7 2 x xy y 13 2 Bài 2. ( điểm) a) Giải phương trình 6x 2 2x 1 3x 6x 3. b) Giải hệ phương trình x 3 x 2 y 3 3 y 2 4 y 2 x 2 y 2 Bài 3. ( điểm) a) Chứng minh rằng không tồn tại các số nguyên dương m , n , p với p nguyên tố thỏa mãn m 2019 n 2019 p 2018 b) Cho x , y, z 0 thỏa mãn x y z 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức x y z 3 3 y 16 z 16 x 16 Bài 4. ( điểm). Cho tam giác ABC có ba góc nhọn với AB AC BC , nội tiếp đường tròn O . Gọi H là hình chiếu của A lên BC , M là trung P 3 điểm của AC và P là điểm thay đổi trên đoạn MH ( P khác M và P khác H ). a) Chứng minh rằng BAO HAC b) Khi APB 900 , chứng minh ba điểm B , O , P thẳng hàng. c) Đường tròn ngoại tiếp tam giác AMP và đường tròn ngoại tiếp tam giác BHP cắt nhau tại Q ( Q khác P ). Chứng minh rằng đường thẳng PQ luôn đi qua một điểm cố định khi P thay đổi. Bài 5. ( điểm) Cho đa giác đều 2n đỉnh nội tiếp đường tròn O . Chia 2n đỉnh này thành n cặp điểm, mỗi cặp điểm này thành một đoạn thẳng (hai đoạn thẳng bất kì trong số n đoạn thẳng được tạo ra không có đầu mút chung). a) Khi n 4 , hãy chỉ ra một cách chia sao cho trong bốn đoạn thẳng được tạo ra không có hai đoạn nào có độ dài bằng nhau. b) Khi n 10 , chứng minh rằng trong mười đoạn thẳng được tạo ra luôn tồn tại hai đoạn thẳng có độ dài bằng nhau. Hướng dẫn Bài 1. a) Từ giả thiết, ta có 1 1 2017 1 P a b c 3 2018. 3 2014. 2018 b c c a a b b) Điều kiện: x 2 xy y 2 0 . Từ phương trình suy ra x y 0. Bây giờ ta viết lại phương trình đã