tailieunhanh - Tóm tắt luận văn Tiến sĩ Toán học: Phân loại các biểu diễn của một số nhóm ma trận lượng tử

Luận án với mục tiêu phân loại được tất cả các biểu diễn bất khả qui của nhóm lượng tử liên kết với đối xứng Hecke có song hạng; chứng minh được một số tính chất của phức Koszul kép, xây dựng tường minh tất cả các biểu diễn bất khả qui của siêu nhóm tuyến tính; xây dựng được một lớp các biểu diễn của siêu nhóm tuyến tính lượng tử. | Tóm tắt luận văn Tiến sĩ Toán học: Phân loại các biểu diễn của một số nhóm ma trận lượng tử BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN TOÁN HỌC NGUYỄN THỊ PHƯƠNG DUNG PHÂN LOẠI CÁC BIỂU DIỄN CỦA MỘT NHÓM MA TRẬN LƯỢNG TỬ Chuyªn ngμnh: Toán Học M∙ sè: 62 46 05 01 TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN TOÁN HỌC Hà Nội – 2010 CÔNG TRÌNH ĐƯỢC HOÀN THÀNH TẠI VIỆN TOÁN HỌC Ng−êi h−íng dÉn khoa häc Ph¶n biÖn 1: Ph¶n biÖn 2: Ph¶n biªn 3: Luận án sẽ được bảo vệ tại Hội đồng chấm Luận án cấp Nhà nước Viện toán học Vào hồi giờ phút, ngày tháng năm 2010 Có thể tìm hiểu Luận án tại: Viện toán học Th− viÖn Quèc gia Mở đầu Nhóm lượng tử loại A được hiểu là một đại số Hopf được xây dựng từ một nghiệm của phương trình Yang-Baxter thỏa mãn hệ thức Hecke và điều kiện đóng. Vấn đề được quan tâm trong luận án là nghiên cứu biểu diễn của các nhóm lượng tử này, cụ thể là phân loại các biểu diễn bất khả quy trong trường hợp số chiều thấp ((2|1) và (3|1)). Cố định một không gian véc tơ V , với chiều d, trên trường đóng đại số k, đặc số 0. Một toán tử khả nghịch R : V ⊗ V −→ V ⊗ V được gọi là một đối xứng Hecke nếu nó thỏa mãn phương trình Yang - Baxter, hệ thức Hecke và tính chất đóng. Từ một đối xứng Hecke R, ta xây dựng đại số Hopf HR như sau. Cố định một cơ sở x1 , x2 , . . . , xd của V, theo cơ sở này R biểu diễn bởi ma trận, ký hiệu kl là (Rij ). Đại số HR là thương của đại số tự do không giao hoán trên các phần tử sinh (zji , tij )1≤i,j≤d theo các hệ thức sau i j mn ij p q zm zn Rkl = Rpq zk zl zki tkj = tik zjk = δji HR là một đại số Hopf, với các ánh xạ cấu trúc 4(zji ) = zki ⊗ zjk , 4(tij ) = tki ⊗ tjk , ε(zji ) = ε(tij ) = δji và S(zji ) = tij . Phép đối xứng thông thường: R(x ⊗ y) = y ⊗ x là một đối xứng Hecke (với q = 1). Đại số HR tương ứng chính là vành các hàm chính quy trên nhóm GL(V ): k[zji ][det(zji )−1 Tương tự, nếu V là một siêu không gian véc tơ và R là phép siêu đối xứng, thì HR chính là siêu .