tailieunhanh - Tóm tắt Luận văn Thạc sĩ Toán học: Phức Koszul và lý thuyết bội

Luận văn tập trung trình bày các vấn đề về phức Koszul, những tính chất của phức Koszul và đồng điều Koszul, chuẩn bị các kiến thức cần thiết để định nghĩa đặc trưng Euler-Pointcaré của phức Koszul, hàm Hilbert, bội hình thức và những tính chất của bội hình thức. . | BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI PHẠM VĂN BẢN PHỨC KOSZUL VÀ LÝ THUYẾT BỘI LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI - 2013 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI PHẠM VĂN BẢN PHỨC KOSZUL VÀ LÝ THUYẾT BỘI Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: . Dương Quốc Việt HÀ NỘI - 2013 Lời nói đầu Lý thuyết Bội là một trong những lý thuyết quan trọng của cả Đại số giao hoán và Hình học đại số. Nó phát triển từ khái niệm bội của nghiệm của một đa thức và việc đếm số bội giao trong Hình học đại số. Trong khoảng một thế kỷ qua, nó đã được phát triển theo nhiều cách thức bởi các tên tuổi lớn của Toán học thế giới. Kết quả nổi bật nhất về Lý thuyết Bội được viết lên bởi Jean-Pierre Serre năm 1965 trong “Algèbre locale. Multiplicités” về mối liên hệ giữa bội và đặc trưng Euler-Pointcaré của phức Koszul: Cho một R−module hữu hạn sinh M và một dãy x trong R là một hệ bội của M . Gọi H• (x , M ) là đồng điều Koszul của x với hệ số trong M và I = (x ) là ideal của R. Khi đó, đặt χ(x , M ) = X (−1)i l(Hi (x , M )) i thì theo định lý Serre ta có e(I, M ) nếu x là một hệ tham số của M, χ(x , M ) = 0 với các trường hợp khác. Năm 1958, trong bài báo “Codimension and multiplicity”, M. Auslander và D. A. Buchsbaum đã chứng minh được một phiên bản của định lý Serre đối với mọi vành Noether, đồng thời đưa ra mô tả rõ ràng cho khái niệm bội. D. G. Northcott năm 1968 trong “Lessons on rings, modules, and multiplicii ties” đã giới thiệu khái niệm “bội hình thức (multiplicity symbol)”, và phát triển một cách hệ thống lý thuyết bội từ những tính chất hình thức của khái niệm này. Liên quan đến đặc trưng Euler-Pointcaré, với mọi j ≥ 0, đặt χj (x , M ) = X (−1) i−j l(Hi (x , M )) i≥j và gọi là đặc trưng Euler-Pointcaré từng phần. Ta có một kết quả khá quan trọng khi xem xét các đặc trưng này, là χj (x , M ) ≥ 0 với j ≥ 0. Serre đã chứng minh χj (x , M ) ≥ 0 với j > 1. Việc .