tailieunhanh - Kết quả cải tiến sơ đồ chia miền đối với bài toán song điều hòa

Trong bài báo này trình bày chi tiết kết quả cải tỉến sơ đồ chia miền đối với bài toán song điều hòa với mục đích tăng tốc độ hội tụ của phương pháp. | T¹p chÝ Khoa häc & C«ng nghÖ - Sè 1(45) Tập 2/N¨m 2008 KÕt qu¶ c¶i tiÕn s¬ ®å chia miÒn ®èi víi bµi to¸n song ®iÒu hßa Vò Vinh Quang – Tr−¬ng Hµ H¶i (Khoa C«ng nghÖ Th«ng tin - §H Th¸i Nguyªn) Më ®Çu Ph−¬ng ph¸p chia miÒn gi¶i bµi to¸n song ®iÒu hoµ ® ®−îc mét sè t¸c gi¶ trªn thÕ giíi vµ trong n−íc quan t©m. Trªn c¬ së c¸c kÕt qu¶ ®¹t ®−îc khi nghiªn cøu ph−¬ng ph¸p chia miÒn ®èi víi c¸c bµi to¸n biªn elliptic cÊp hai, trong [1, 2] ® ®Ò xuÊt s¬ ®å chia miÒn gi¶i bµi to¸n song ®iÒu hoµ, c¸c kÕt qu¶ nµy ® ®−îc chøng minh chÆt chÏ b»ng lý thuyÕt vµ kiÓm tra b»ng thùc nghiÖm tÝnh to¸n. Trong bµi b¸o nµy, chóng t«i sÏ tr×nh bµy kÕt qu¶ khi c¶i tiÕn s¬ ®å chia miÒn ®èi víi bµi to¸n song ®iÒu hoµ víi môc ®Ých t¨ng tèc ®é héi tô cña ph−¬ng ph¸p. 1. Ph−¬ng ph¸p chia miÒn gi¶i bµi to¸n song ®iÒu hoµ ∆2u −c∆u + du XÐt bµi to¸n u ∆u n trong ®ã Ω ∈ R , ∂Ω lµ biªn Lipschitz, = f , c ≥ 0, x ∈ Ω, = g 0, x ∈ ∂Ω, = g1, x ∈ ∂Ω (1) f ⊂ L2 (Ω) , g 0 , g1 lµ c¸c hµm sè cho tr−íc. Bµi to¸n (1) ®−îc gäi lµ bµi to¸n song ®iÒu hoµ tæng qu¸t. Tuú thuéc vµo c¸c hÖ sè c, d chóng ta xÐt hai d¹ng bµi to¸n c¬ b¶n: Bµi to¸n biªn thø nhÊt: ∆2u −c∆u = f , c ≥ 0, x ∈Ω, = g0, u x ∈∂Ω, ∆u x ∈∂Ω. = g1, (2) ∆2u −c∆u +du = f , c ≥ 0, d ≠ 0,x ∈Ω, u = g0, x ∈∂Ω, ∆u = g1, x ∈∂Ω. Bµi to¸n biªn thø hai: (3) Trªn c¬ së cña ph−¬ng ph¸p chia miÒn gi¶i ph−¬ng tr×nh elliptic cÊp hai víi t− t−ëng x¸c ®Þnh gi¸ trÞ ®¹o hµm trªn biªn ph©n chia kÕt hîp víi ph−¬ng ph¸p ph©n r bµi to¸n song ®iÒu hoµ vÒ hai bµi to¸n biªn elliptic cÊp hai, trong [1, 2] ® ®−a ra ph−¬ng ph¸p chia miÒn gi¶i bµi to¸n song ®iÒu hoµ nh− sau: XÐt bµi to¸n (1), chia miÒn Ω = Ω1 ∪ Ω 2 , Ω1 ∩ Ω 2 = ∅ , kÝ hiÖu Γ = ∂Ω1 ∩ ∂Ω 2 , Γ1 = ∂Ω1 \ Γ, Γ 2 = ∂Ω 2 \ Γ , ui lµ nghiÖm trong miÒn Ωi , ϕi = − dui , vi = ∆ui (i = 1, 2) , ξ = ∂v1 ∂u1 Γ, η = ∂ν1 ∂ν1 Γ trong ®ã ν i lµ vect¬ ph¸p tuyÕn ngoµi cña miÒn Ωi, (H×nh 1) Ω1 38 Γ Ω2 Ω1 Γ Ω2 T¹p chÝ Khoa häc & C«ng nghÖ - Sè .