tailieunhanh - Xây dựng toán tử biên miền cho một bài toán biên đối với phương trình dạng song điều hòa

Nội dung bài viết nêu lên việc áp dụng phương pháp toán tử biên hoặc toán tử biên - miền cho các bài toán đó. Các tính chất của toán tử cũng đưỡ xem xét, đánh giá thông qua đó có thể kết luận được sự hội tụ về nghiệm đúng bài toán gốc. | T¹p chÝ Khoa häc & C«ng nghÖ – Sè 1(41)/N¨m 2007 X©y dùng to¸n tö biªn - miÒn cho mét bµi to¸n biªn ®èi víi ph−¬ng tr×nh d¹ng song ®iÒu hoµ Lª Tïng S¬n (Tr−êng §H S− ph¹m- §H Th¸i Nguyªn) 1. §Æt vÊn ®Ò Mét trong nh÷ng ph−¬ng ph¸p gi¶i sè mang tÝnh hiÖu qu¶ cao ®èi víi c¸c bµi to¸n biªn cña ph−¬ng tr×nh ®¹o hµm riªng cÊp bèn lµ ®−a chóng vÒ mét d#y c¸c bµi to¸n cÊp hai vµ sö dông c¸c kÕt qu¶ ®# cã. §Ó lµm ®−îc viÖc nµy, gÇn ®©y, mét sè nhµ nghiªn cøu nh− Abramov, Ulijanova [1], §.Q.¸ [2,3,5], ®# ¸p dông ph−¬ng ph¸p to¸n tö biªn hoÆc to¸n tö biªn – miÒn cho c¸c bµi to¸n ®ã. C¸c tÝnh chÊt cña to¸n tö còng ®−îc xem xÐt, ®¸nh gi¸, th«ng qua ®ã cã thÓ kÕt luËn ®−îc sù héi tô cña s¬ ®å lÆp cña nghiÖm xÊp xØ vÒ nghiÖm ®óng cña bµi to¸n gèc. TiÕp tôc h−íng nghiªn cøu trªn, chóng t«i xÐt bµi to¸n ∆2u + bu = f , x ∈ Ω, b > 0, (1) u Γ = g1 , (2) ∆u Γ = g 2 , (3) ∂u ∂γ (4) 1 2 = g3 , Γ trong ®ã Ω lµ mét miÒn giíi néi trong Rn, n≥2, Γ lµ biªn ®ñ tr¬n cña Ω, Γ= Γ1∪Γ2, γ lµ ph¸p tuyÕn ngoµi cña Γ, ∆ lµ to¸n tö Laplace. Tr−íc hÕt, chóng t«i ®−a bµi to¸n (1) – (4) vÒ mét ph−¬ng tr×nh to¸n tö, trªn c¬ së ®ã, x©y dùng mét s¬ ®å lÆp cho bµi to¸n gèc. 2. §−a bµi to¸n(1)-(4) vÒ ph−¬ng tr×nh to¸n tö biªn- miÒn NÕu ®Æt: ∆u = v , ϕ = −bu , (5) (6) ∆u Γ = v 0 , vµ ký hiÖu: 1 (7) th× bµi to¸n (1)-(4) ®−îc ®−a vÒ c¸c bµi to¸n: ∆v = f + ϕ , x∈Ω , v Γ = v0 , v Γ = g 2 1 2 ∆u = v , u Γ = g1 , 1 (8) vµ (9) ∂u ∂γ = g3 . Γ2 ë ®©y: v, v0, ϕ lµ ch−a biÕt. NÕu t×m ®−îc v0, ϕ , th× tõ (8) ta t×m ®−îc v, tiÕp tôc gi¶i (9), ta t×m ®−îc nghiÖm u cña bµi to¸n (1)- (4). 13 T¹p chÝ Khoa häc & C«ng nghÖ – Sè 1(41)/N¨m 2007 §Ó t×m v0, ϕ , ta x©y dùng to¸n tö B ®−îc x¸c ®Þnh nh− sau: B :ω → Bω b∂u Bω = ∂γ Γ , 1 ϕ + bu v ω = 0 , ϕ (10) trong ®ã u lµ nghiÖm cña c¸c bµi to¸n: ∆v = ϕ , x ∈Ω, v Γ = v0 , vΓ =0 1 2 (11) vµ: ∆u = v , u Γ =0, 1 (12) ∂u ∂γ = 0. Γ2 NÕu ®Æt u = u1+u2, v = v1+v2 th× ta ®−a ®−îc (8), (9) tíi d#y c¸c bµi to¸n .