tailieunhanh - Bài giảng Phương pháp số: Bài 5 - ThS. Nguyễn Thị Vinh

Bài giảng Phương pháp số: Bài 5, trình bày các nội dung sau: Phép thế giải tích, sai số L(f) – L(p), đạo hàm tại các điểm phân biệt, một số quy tắc cơ bản, các quy tắc tổng hợp, quy tắc làm tăng độ chính xác,. | BÀI 5 ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN ĐẶT VẤN ĐỀ (1) 1. PHÉP THẾ GIẢI TÍCH: Ứng dụng chính của các đa thức xấp xỉ là thay thế một hàm phức tạp, hay một hàm cho dƣới dạng bảng bởi một đa thức để các phép toán cơ bản của giải tích có thể thực hiện đƣợc dễ dàng hơn. Chúng bao gồm I(f) b a f(x)dx và D(f) f ' (a) Kí hiệu L một trong các phép toán này trên các hàm, xấp xỉ L(f) bởi L(p), với p(x) là một đa thức xấp xỉ của f(x) L có thể thực hiện đƣợc dễ dàng hơn trên p(x) vì nó là một đa thức và L là một trong hai phép toán đạo hàm và tích phân PHƢƠNG PHÁP SỐ-Bài 5 2 ĐẶT VẤN ĐỀ (2) 2. SAI SỐ L(f) – L(p): Do tính tuyến tính của phép toán L L(f + g) = L(f) + L(g) L(af) = aL(f) trong đó f(x) và g(x) là các hàm và a là một hằng số. Tính tuyến tính dẫn đến L(f) – L(p) = L(e) trong đó e(x) là sai số trong xấp xỉ p(x) của f(x), f(x) = p(x) + e(x) p(x) là một đa thức nội suy bậc ≤ n của f(x) tại các điểm x0, , xn. PHƢƠNG PHÁP SỐ-Bài 5 3 ĐẶT VẤN ĐỀ (3) 2. SAI SỐ L(f) – L(p): Sử dụng đa thức nội suy Newton Sai số E(f) = L(f) – L(p) tính đƣợc bằng cách áp dụng toán tử L vào hàm sai số của đa thức nội suy – các công thức () và () en ( x ) f ( x ) p n ( x ) n f [ x 0 , ., xn, x ] Π(x x j ) j 0 f (n 1) (ξ) n (x x j ), ξ [c, d] (n 1)! j 0 [c; d] là khoảng chứa các mốc nội suy x0, x1, , xn PHƢƠNG PHÁP SỐ-Bài 5 5 ĐẠO HÀM (1) 1. ĐẠO HÀM TẠI CÁC ĐIỂM PHÂN BIỆT: Cho f(x) khả vi liên tục trên [c; d]. Nếu x0, , xk є [c; d], thì theo công thức nội suy Newton () f(x) = pk(x) + f[x0, . . . , xk, x] Ψk (*) trong đó pk(x) là đa thức bậc ≤ k nội suy hàm f(x) tại x0, , xk, và Ψ k (x) Do k (x x j) j 0 d f[x0 , ,x k ,x] f[x0 , ,x k ,x,x] dx nếu f(x) đủ trơn, lấy đạo hàm (*) ta nhận đƣợc ' (x) f ' (x) p'k (x) f[x 0, ,x k,x,x] Ψk(x) f[x 0, ,x k,x] Ψk PHƢƠNG PHÁP SỐ-Bài .