tailieunhanh - Bài giảng Đại số tuyến tính: Chương 4 - ĐH Công nghệ Thông tin

Bài giảng "Đại số tuyến tính - Chương 4: Chéo hóa ma trận – Dạng toàn phương" cung cấp cho người học các kiến thức: Trị riêng và véctơ riêng của ma trận, chéo hóa ma trận, chéo hóa trực giao, dạng toàn phương, dạng toàn phương xác định. . | Chương 4. Chéo hóa ma trận – Dạng toàn phương §1. TRỊ RIÊNG VÀ VÉCTƠ RIÊNG CỦA MA TRẬN . Định nghĩa. Cho ma trËn vu«ng A cÊp n. Sè λ ®ưîc gäi lµ trÞ riªng cña A nÕu tån t¹i vÐct¬ x ∈ ℝ n , x ≠ θ sao cho Ax = λ x Khi đó vÐct¬ x ≠ θ ®ưîc gäi lµ vÐct¬ riªng cña A øng víi trÞ riªngλ Chó ý. NÕu x lµ vÐct¬ riªng cña A øng víi trÞ riªng λ th× víi mäi sè α ≠ 0 vÐct¬ α x còng lµ vÐct¬ riªng cña A øng víi trÞ riªng λ ▪ §Ó t×m c¸c trÞ riªng cña ma trËn vu«ng A cÊp n, ta viÕt Ax = λ x thµnh Ax = λ Ix ; I lµ ma trËn ®¬n vÞ cÊp n ⇒ ( A − λ I ) x = O : lµ hÖ phư¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh thuÇn nhÊt. §Ó λ lµ trÞ riªng cña A th× hÖ trªn ph¶i cã nghiÖm x ≠ θ ⇔ A − λ I = 0 : ®©y lµ phư¬ng tr×nh ®Ó x¸c ®Þnh c¸c trÞ riªng cña A vµ ®ưîc gäi lµ phư¬ng tr×nh ®Æc trưng cña A. §a thøc PA (λ ) = A − λ I : ®ưîc gäi lµ ®a thøc ®Æc trưng cña A. ▪ C¸ch t×m trÞ riªng vµ vÐct¬ riªng cña ma trËn vu«ng A: B1. Gi¶i phư¬ng tr×nh ®Æc trưng A − λ I = 0 (víi Èn lµ λ ) ®Ó t×m c¸c trÞ riªng cña A. B2. Gi¶i hÖ phư¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh thuÇn nhÊt( A − λ I ) x = O. NghiÖm kh«ng tÇm thưêng cña hÖ chÝnh lµ vÐct¬ riªng cÇn t×m. { } §Þnh nghÜa 1. §Æt E (λ ) = x ∈ ℝ n ( A − λ I ) x = O : lµ kh«ng gian nghiÖm cña hÖ ( A − λ I ) x = O vµ ®ưîc gäi lµ kh«ng gian riªng cña A øng víi trÞ riªng λ §Þnh nghÜa 2. ▪ Béi ®¹i sè (B§S) cña trÞ riªng λ lµ béi cña trÞ riªng λ trong phư¬ng tr×nh ®Æc trưng. ▪ Béi h×nh häc (BHH) cña trÞ riªng λ lµ sè chiÒu cña kh«ng gian riªng øng víi trÞ riªng ®ã (tøc dim E( λ ) ). §Þnh lý 1. BHH cña mét trÞ riªng lu«n bé hơn hoặc bằng B§S cña nã. Chó ý. BHH cña trÞ riªng lu«n lín h¬n hoÆc b»ng 1. §Þnh lý 2. C¸c vÐct¬ riªng øng víi c¸c trÞ riªng kh¸c nhau th× ®ltt. VD. H·y t×m c¸c c¬ së cña kh«ng gian riªng cña ma trËn 3 A = − 2 0 −2 3 0 0 0 5 . Ma trËn ®ång d¹ng §Þnh nghÜa. Cho A, B lµ hai ma trËn vu«ng cÊp n. Ma trËn B ®ưîc gäi lµ ®ång d¹ng víi ma trËn A, ký hiÖu B ∼ A , nÕu tån t¹i ma trËn vu«ng P cÊp n kh«ng suy biÕn sao cho B = P-1AP. Chó ý. NÕu B ∼