tailieunhanh - Bài giảng Đại số tuyến tính: Chương 3 - ĐH Công nghệ Thông tin
Bài giảng "Đại số tuyến tính - Chương 3: Không gian véctơ" cung cấp cho người học các kiến thức: Khái niệm không gian véctơ, sự độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính, cơ sở và số chiều của không gian véctơ, không gian euclide. . | Chương 3. Không gian véctơ §1. KHÁI NIỆM KHÔNG GIAN VÉCTƠ . Định nghĩa. Một tập V ≠ ∅ được gọi là không gian véctơ (không gian tuyến tính) trên ℝ (hay ℝ _ không gian véctơ) nếu: Có 2 phép toán: • Phép cộng 2 véctơ: V×V → V (PhÐp céng khÐp kÝn) (x, y) ֏ x + y • Phép nhân 1 số với véctơ ( phép nhân vô hướng): ℝ ×V → V (α , x) ֏ α x (PhÐp nh©n v« h−íng khÐp kÝn) Hai phÐp to¸n trªn tháa m·n 8 tiªn ®Ò sau: ∀ x, y, z ∈ V; ∀α , β ∈ ℝ 1) C én g k Õt hî p: (x + y ) + z = x + (y + z ) 2 ) C én g g iao h o ¸n : x + y = y + x 3) T å n t¹i ph Çn tö θ ∈ V sao cho : θ + x = x. P h Çn tö θ ® − îc g ä i lµ phÇn tö tru n g h ßa. 4 ) V í i ∀ x ∈ V , ∃ (− x ) ∈ V sao cho : x + (− x ) = θ . P h Çn tö − x ® − î c g ä i lµ ph Çn tö ® è i cñ a x. 5 ) α (x + y ) = α x + α y 6 ) ( α + β )x = α x + β x 7 ) ( α β )x = α ( β x ) 8) T iªn ® Ò U nita: 1 .x = x Mỗi phÇn tö cña V ®ưîc gäi lµ mét vÐct¬. Mỗi phÇn tö trong ℝ ®ưîc gäi lµ v« hưíng. VD1. { } TËp gåm tÊt c¶ c¸c bé n sè thùc: ℝn = (x1,x2 ,.,xn ) xi ∈ ℝ;i = 1,n lµ kh«ng gian vÐct¬ trªn ℝ víi i PhÐp céng 2 vÐct¬ : x + y = (x1 + y1,x2 + y2 ,.,xn + yn ) víi x = (x1,x2 ,.,xn ); y = (y1,y2 ,.,yn ) i PhÐp nh©n v« h−íng: αx = (αx1, αx2 ,., αxn ) ⇒ θ = (0,0,.,0); − x = (−x1,−x2 ,.,−xn ) VD2. Ký hiÖu: R2 lµ tËp hîp tÊt c¶ c¸c vÐct¬ tù do trong mÆt ph¼ng víi phÐp céng vÐct¬ vµ phÐp nh©n 1 sè thùc víi vÐct¬ ®ưîc ®Þnh nghÜa như ë phæ th«ng. Khi ®ã R2 lµ kh«ng gian vÐct¬ trªn ℝ ⇒ θ = 0; vÐct¬ ®èi cña x lµ − x Tư¬ng tù: R3 lµ tÊt c¶ c¸c vÐct¬ tù do trong kh«ng gian víi phÐp céng vµ nh©n v« hưíng như trªn còng lµ kh«ng gian vÐct¬ trªn ℝ VD3. Ký hiÖu: Pn[x] lµ tËp tÊt c¶ c¸c ®a thøc víi hÖ sè thùc cã bËc ∗ kh«ng qu¸ n (n∈ℕ ), tøc: { Pn [ x ] = a o + a1x + a 2 x2 + . + a n x n a i ∈ ℝ ; i = 0, n } víi phÐp céng 2 ®a thøc vµ phÐp nh©n 1 sè víi ®a thøc th«ng thưêng. Khi ®ã Pn[x] lµ kh«ng gian vÐct¬ trªn ℝ ⇒ θ = 0 + 0 .x + 0 .x 2 + . + 0 .x n − p (x ) = − a o − a 1 x − a 2 x 2 − . − a n x n VD4. Ký hiÖu: Mm×n
đang nạp các trang xem trước
