tailieunhanh - Giáo trình Toán học cao cấp (Tập 2): Phần 2 - NXB Giáo Dục

Giáo trình Toán học cao cấp tập 2 phần 2 cung cấp cho người học các kiến thức: Toán học cao cấp, phương trình vi phân, đại cương về chuỗi số, chuỗi lũy thừa, phương trình vi phân cấp một,. Hi vọng đây sẽ là một tài liệu hữu ích dành cho các bạn sinh viên đang theo học môn dùng làm tài liệu học tập và nghiên cứu. chi tiết nội dung bài giảng. | 9 Í1 Chương X CHUỖI yêu. cầu Chương này trình bày các khái niệm cơ bản về chuểi số như chuối sế hội tụ phân kỳ hội tụ tuyệt đối bán hội tụ các quy tắc khảo sát sự hội tụ của chuôi số ứng dụng của chuôi số vằo tính gẩn dúng trình bầy những kiến thức cơ bản về chuỗi luỹ thừa như bán kính hội tụ miển hổi tụ sự khai triển thành chuễì luỹ thừa của một số hàm số thông dựng các ứng dụng của chuỗi ìuỹ thừa. Sinh viển cấn hiểu kỹ các khái niệm nêu trên nắm vững các ìcết quả cơ bản để xét sự hội tụ của chuối số tìm miền hội tụ của chuỗi luỹ thừa vận dụng thành thạo các kết quả dó vào tính gần đúng. 1. ĐẠI CƯƠNG VỀ CHUỖI số . Định nghĩa Cho dãy sô ub u2 . un . Biểu thức U U2 . Un . un n l gọi là chuỗi số. Các số Uj u2. . un . gọi là các số hạng của chuỗi số un với n tổng quát gọi là số hạng tổng quát. Tổng của n số hạng đầu sn U u2 . un uk k l gọi là tổng riêng thứ n của chuỗi số. Nếu sn dần tới một giới hạn xác định s khi n - 00 ta nói rằng chuỗi số hội tụ và có tổng là s. Ta viết s Uị u2 . un . un. n l Hiệu rn s - sn gọi là phần dư thứ n của chuổi số. Nếu chuỗi số hội tụ thì rn - 0 khi n - 00. Chuỗi số gọi là phân kỳ nếu nó không hội tụ. 124 Ví dụ ỉ. Xét chuỗi số sau gọi là chuỗi nhân CO aq11-1 a aq aq2 . aq11 1 . với a 0. n l Giải Ta có ___________________________________ 2 . _n l sn a aq aq . aq do đó qsn aq aq2 . aq11. Trừ hai đảng thức trên từng vế một ta được sn l - q a l qn . Do đó nếu q 1 thì Nếu Iql 1 thì q11 - 0 khi n 00 do đó sn vậy chuỗi hội tụ 1-q vằ có tổng bằng a 1-q Nếu Iql 1 thì lqln - 00 khi n - 00 do đó sn - 00 vậy chuỗi phân kỳ. Nếu q 1 thì sn a a . a na 00 khi n 00 chuỗi phân kỳ. Nếu q -1 thì sn a a . -l na io nếu n lẻ a nếu n chẩn do đó sn không dần tới một giới hạn xác định khi n - 00 chuỗi phân kỳ. 00 Tóm lại chuỗi số aq11-1 hội tụ nếu Iql 1 phân kỳ nếu Iql 1. n i Ví dụ 2. Xét chuỗi số y 1 - 1 ỉ 1 n n - 1 2 6 n n - 1 Giải Ta có 1 1 J_ n n - 1 n 1 n 125 do đó _f lì. .f 1 c 1 n k 2 V2 3 J kn-l nJ n-1 Khin 00 thl sn 1 vậy chuỗi đã cho hội tụ và